2011届高三数学单元练习及解析：计数原理、概率、随机变量及其分布列

16．将某城市分为四个区(右图所示)，现有5种不同颜色，图①② ③④每区只涂一色，且相邻两区必须涂不同的颜色(不相邻两区 所涂颜色不限)，则②区被涂成红色的概率是________． 解析：区域①有C15种涂色方法，区域②、③、④的涂色方法依

111次有C1、C1、C1种，由分步计数原理知不同涂色方法有C1＝240种．区4345C4C3C41域②被涂成红色，则区域③有C1种，区域④有C14种，区域①有C3种，故P＝44×4×3

240

1＝. 51答案： 5

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A为“恰有一个红球”，事件B为“第3个是红球”． 求：(1)不放回时，事件A、B的概率； (2)每次抽后放回时，A、B的概率．

解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中抽一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共6×5×4＝120个，又事件A中含有基本事件3×2×4×3＝72个，(第一个是红球，则第2,3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)， 723

∴P(A)＝＝.

1205

1

因为红球数占总球数的，在每一次抽到都是随机地等可能事件，

31

∴P(B)＝. 3

(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63＝216种，事件A含基本事件3×2×4×4＝96种． 964

∴P(A)＝＝.

2169

第三次抽到红球包括B1＝{红，黄，红}，B2＝{黄，黄，红}，B3＝{黄，红，红}，B42×4×22

＝{红，红，红}四种两两互斥的情形，P(B1)＝＝；

216274×4×24

P(B2)＝＝；

216274×2×22

P(B3)＝＝；

21627

- 5 -

2×2×21

P(B4)＝＝，

21627

∴P(B)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＋P(B4) ＝

24211＋＋＋＝. 272727273

18．(本小题满分12分)(2010·大连模拟)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的8概率为. 15

(1)求该小组中女生的人数；

3

(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生41

通过的概率均为.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中

2通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解：(1)设该小组中有n个女生．

1C1C8

根据题意，得n210-n＝.

15C10解得n＝6，n＝4(舍去)． ∴该小组中有6个女生． (2)由题意，ξ的取值为0,1,2,3. 1111

∵P(ξ＝0)＝××＝；

22416

111?1?235

P(ξ＝1)＝C1； 2××＋2×＝224??4161?23?1?217?P(ξ＝2)＝C122×＋2×＝??4??416； 1?233P(ξ＝3)＝??2?×4＝16. 故ξ的分布列为：

ξ P

15737∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 161616164

19．(本小题满分12分)甲，乙两人约定在下午1点到2点之间到某汽车站乘公共汽车．又这段时间内有4班公共汽车，它们的开车时刻分别为1∶15,1∶30,1∶45，2∶00.已知甲、

- 6 -

0 1 161 5 162 7 163 3 16

乙到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1点到2点的任何时刻到达车站是等可能的．

(1)如果他们约定见车就乘，求甲，乙同乘一辆车的概率； (2)如果他们约定最多等一辆车，求甲，乙同乘一辆车的概率．

解：设x，y(1≤x≤2,1≤y≤2)分别为甲，乙到达的时刻．P为甲乙同乘一辆车的概率． (1)见车就上的情况如图(1)所示．

1?2

4×??4?1阴影部分面积

P＝＝＝. 正方形面积(2－1)24

(2)法一：最多等一辆车的情况下，甲乙同乘一车包括3种情况：见车就上；甲先到达等一辆车然后与乙同乘一辆车(如图(2))；乙先到达等一辆车，然后与甲同乘一车．

13×1615

P＝＋×2＝. 418

1

×10165

法二：如图(3)，P＝＝. 218

20．(本小题满分12分)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为

X1 P

5% 0.8 10% 0.2 - 7 -

X2 P

(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；

(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．

解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为

Y1 P

Y2 P

E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6(万元)， D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8(万元)，

D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. 100－xx

(2)f(x)＝D(Y1)＋D(Y)

1001002100－x2x

＝()2D(Y1)＋()D(Y2) 100100＝

4422

2＝2(4x－600x＋3×100)． 100100

2 0.2 8 0.5 12 0.3 5 0.8 10 0.2 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3 600故当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值．

2×4

21．(本小题满分12分)(2010·平顶山模拟)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各2

路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是51 min.

(1)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2 min的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间X的分布及期望．

解：(1)设这名学生在上学路上因红灯停留的总时间至多是2 min为事件B，这名学生上学路上遇到k次红灯为事件：Bk(k＝0,1,2)．

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