全国高考数学复习微专题：放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式

一、基础知识：

在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧

1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：

（1）传递性：若a?b,b?c，则a?c（此性质为放缩法的基础，即若要证明a?c，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b，使得a?b，从而将问题转化为只需证明b?c即可 ）

（2）若a?b,c?d，则a?c?b?d，此性质可推广到多项求和：

若a1?f?1?,a2?f?2?,L,an?f?n?，则:a1?a2?L?an?f?1??f?2??L?f?n? （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若a?b?0,c?d?0，则ac?bd，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：

（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：Sn?② 等比数列求和公式：Sn?a1?an?n，an?kn?m（关于n的一次函数或常值函数） 2a1?qn?1?q?1?q?1?，an?k?qn（关于n的指数类函数）

③ 错位相减：通项公式为“等差?等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项 （2）与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微

调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。 （3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）

② 等比数列：所面对的问题通常为“Sn?常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足q??0,1? ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为

a1的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项1?q12公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数=2，

31?1411?1?即可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为2??? 。

24?4?注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响 （4）与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即an?1?an?f?n?或

nan?1?f?n?（累乘时要求不等式两侧an均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为an，另一侧为求和的结果，进而完成证明

3、常见的放缩变形： （1）

1111?2?，其中n?2,n?N：可称2为“进可攻，退可守”，可依

n?n?1?nn?n?1?n照所证不等式不等号的方向进行选择。 注：对于

1，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消2n

特征的数列，例如：

1111?11???????，这种放缩的尺度要22nn?1?n?1??n?1?2?n?1n?1?小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：

11411?11??????? 221n4n?1?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?n2?4（2）1?n2，从而有：

n?n2?n?1?n??2n?n?1?1?n2n?n?1?2?n?n?1

?注：对于11?n?n?2,n?2,n?N? 还可放缩为：nn（3）分子分母同加常数：

bb?mbb?m??b?a?0,m?0?,??a?b?0,m?0? aa?maa?m此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。 （4）

2n?2n?1?22n2n2n?1?n?n?n nnn?1?2?1??2?1??2?1??2?2??2?1??2?1? ?可推广为：

12n?1?1?1n?2,n?N?? ?n2?1kn?kn?1?2knknkn?1?n?n?n nnn?1?k?1??k?1??k?1??k?k??k?1??k?1? ?二、典型例题：

1kn?1?1?1? n?2,k?2,k,n?N??nk?1例1：已知数列?an?的前n项和为Sn，若4Sn??2n?1?an?1?1，且a1?1 （1）求证：数列?an?是等差数列，并求出?an?的通项公式 （2）设bn?1anSn，数列?bn?的前n项和为Tn，求证：Tn?3 2解：（1）4Sn??2n?1?an?1?1 ?4Sn?1??2n?3?an?1?n?2?

?4an??2n?1?an?1??2n?3?an ?n?2?

即?2n?1?an??2n?1?an?1?an?12n?1? an2n?1?an2n?1an?12n?3a5?,?,L,3? an?12n?3an?22n?5a23anan?1a2n?12n?35a2n?1??L?3???L?即n??n?2? an?1an?2a22n?32n?53a23??an?2n?1a2，由4Sn??2n?1?an?1?1令n?1可得： 34S1?a2?1?a2?3

?an?2n?1?n?2? ，验证a1?1符合上式

?an?2n?1 Sn?n2

（2） 由（1）得：bn?1?2n?1?n2?1 b1?1

n?2n?1?可知当n?2时，bn?1111?11???????

n?2n?1?n?2n?2?2n?n?1?2?n?1n?1??1??11?1???1?Tn?b1?b2?L?bn?b1???1???????L?????

2??2??23??n?1n?? ?1?不等式得证

?例2：设数列?an?满足：a1?1,an?1?3an,n?N，设Sn为数列?bn?的前n项和，已知

1?1?31???? 2?n?2b1?0，2bn?b1?S1?Sn,n?N?

（1）求数列?an?,?bn?的通项公式 （2）求证：对任意的n?N且n?2，有

?1113??L??

a2?b2a3?b3an?bn2解：（1）Qan?1?3an ??an?为公比是3的等比数列

?an?a1?3n?1?3n?1

在?bn?中，令n?1，2b1?b1?S1?S1?b1?1

?2bn?1?Sn

2bn?1?1?Sn?1 ?2bn?2bn?1?bn?n?2??bn?2bn?1

??bn?是公比为2的等比数列

?bn?b1?2n?1?2n?1

（2）证明：

111?n?1? n?1n?2an?bn3?23111??L?

a2?b2a3?b3an?bn??1?n?1?1??1????n?111??3???3??1??3??1??L?n?2???1?????

1332???3???21?3例3：已知正项数列?an?的前n项和为Sn，且an?2（1）求证：数列Sn是等差数列

1?2Sn,n?N? an??3（2）记数列bn?2Sn,Tn?111131??L?，证明：1??Tn?? b1b2bn2n?1n解：（1）an?11?2Sn?Sn?Sn?1??2Sn?n?2? anSn?Sn?1?122?Sn?Sn?Sn?1 ?Sn?1?1

Sn?Sn?12??Sn?为等差数列

（2）思路：先利用（1）可求出Sn的公式进而求出bn?2nn，则放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。

11?，考虑进行bn2nn