解：令n?1代入an?1?2Sn可得： ana1?1?2a1?a1?1即S1?1 a122由Sn为等差数列可得：Sn?S12??n?1??n
???Sn?n ?bn?2nn ?11? bn2nn考虑先证Tn?31? 2n11??bnn?2nn?n?2时
1?n?1?n??n?n?1n?n?111????n?2?
nn?1nn?n?1?Tn?1?1??11?1?1131?1 ??1????L????1????????b1?2??23?n?2n2n?n?113??1 22n?1时，T1??Tn?31? 2n1 n?1再证Tn?1?11??bnn?2nn1?n?1?n??n?1?nn?1?n11 ???nnn?1n?n?1?1??11?1?1?1? ?Tn??1????L???1??????2??23?n?1?n?1??n综上所述：1?131?Tn??
2n?1n小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩：
n?1?n?111???n?n?1 n?1?n2nn?n?1
?1?例4：已知数列?an?满足a1?2,an?1?2?1??an,n?N?
?n?（1）求证：数列?2?an?是等比数列，并求出数列?an?的通项公式 2?n??（2）设cn?n17，求证：c1?c2?L?cn? an2422?n?1?a ?1?解：（1）an?1?2?1??an?2?nn2?n??an?1?n?1?2?2?an?an?? ?2?是公比为2的等比数列 n2?n??an?a1?n?1n??2?2 ??22n?1??an?n2?2n
（2）思路：cn?n1?，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等ann?2n号：?），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有n，故分子分母通乘以?n?1?，再进行放缩调整为裂项相消形式。 解：cn?n1n?1?? ann?2nn?n?1?2n而
2n??n?1?11n?1 ???n?1nnnn?12n?2nn?12nn?12??????n?1n?111????n?2?
n?n?1?2nn?n?1?2n?n?1?2n?1n?2n所以cn??111111?c1?c2?L?cn?c1?c2?c3??????L?? n?1n??3?234?244?245?25?n?2??n?1?2?1111117117??????? ?n?3? 282424n?2n24n?2n241617Qcn?0 ?c1?c1?c2?c1?c2?c3??
2424 ?小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进
行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。
（2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本题中n?3才会有放缩的情况），对于较少项数要进行验证。
例：已知数列?an?的前n项和Sn?nan?3n?n?1?,n?N?，且a3?17 （1）求a1
（2）求数列?an?的前n项和Sn
（3）设数列?bn?的前n项和Tn，且满足bn??n2，求证：Tn?3n?2
3Sn解：（1）在Sn?nan?3n?n?1?,n?N中，令n?2,n?3可得：
?a1?a2?2a2?6?a2?a1?6 ????a1?a2?a3?3a3?18?a1?a2?16?a1?5,a2?11
（2）Sn?nan?3n?n?1? ①
Sn?1??n?1?an?1?3?n?1??n?2? ②
① ? ②可得：
an?nan??n?1?an?1?6?n?1???n?1?an??n?1?an?1?6?n?1? ?n?2?
?an?an?1?6
??an?是公差为6的等差数列 ?an?a1?6?n?1??6n?1
?Sn?nan?3n?n?1??n?6n?1??3n?n?1??3n2?2n
（3）由（2）可得：bn?n1 ?23n?2n3n?2?bn?1223???3n?223n?23n?2?3n?12?3n?2?3n?1
??Tn?b1?b2?L?bn?2?3??5?2???8?5???3n?2?3n?1?
??
?23?3n?2?2??23n?2 3例6：已知数列?an?满足a1?1an?1,an??n?2,n?N? n4??1?an?1?2?1n?（1）试判断数列????1??是否为等比数列，并说明理由
?an?（2）设bn?ansin?2n?1??2an?1，数列?bn?的前n项和为Tn，求证：对任意的n?N,Tn??n4 71??1?an?1?22n????1?解：（1）an? ??naaa??1?an?1?2nn?1n?1??1212?nnnn?1???1??2???1???????1????2?????1??? anan?1anan?1???1n??????1??为公比是?2的等比数列 ?an?（2）思路：首先由（1）可求出?an?的通项公式?an?13???2?n?1???1?n，对于
sin?2n?1??2可发现n为奇数时，sin?2n?1??2?1，n为偶数时，sin?2n?1??2??1，
结合?an?通项公式可将其写成sin?2n?1??2???1?n?1，从而求出cn?13?2n?1?1，无法直
接求和，所以考虑对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而cn?13?2n?1?1?1，n?13?2求和后与所证不等式右端常数比较后再进行调整（需前两项不动）即可。 解：
11???1??3，由（1）可得： a1?11n1?n?1n?1???1??????1?????2??3???2? an?a1??an?13???2?n?1???1?n
n?1而sin?2n?1??2???1?n?1 ?bn?an?sin?2n?1??2
??1??n?1n3???2????1??13?2n?1?1
?bn?13?2n?1?1?1
3?2n?1111 ??L?23n?13?23?23?2n?2当n?3时，Tn?b1?b2?L?bn??b1?b2??1??1??1????2?1112?? ???1471?2因为?bn?为正项数列 ?T1?T2?T3?L?Tn
?????1?1?1?47?4
476847??n?N?,Tn?4 73nan?13n?2,n?N?? ，且an??2an?1?n?12例7：已知数列?an?满足：a1?（1）求数列?an?的通项公式
（2）证明：对于一切正整数n，均有a1?a2?L?an?2?n! 解：（1）an?3nan?1
2an?1?n?1?12an?1?n?1n2an?1?n?1n2n?1?????? an3nan?1an3an?1an33an?1n21即bn??bn?1 an33设bn??bn?1?11 为公比是的等比数列 b?1?b?1?n?1??n?33n?1?1??bn?1??b1?1????3?n 而b1?12? a13nn?3n?1? ?bn?1??? ?an??n3b3?1??n31323n?2?L?n?2，由于是连乘形式，所以考（2）思路：所证不等式可化简为：13?13?13?1虑放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为3n?1，所以结合不等号方向，将分
??
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