2019-2020年高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和模拟演练理

2019-2020年高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和

模拟演练理

1．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝( )

?3?nA．4×??

?2??2?nC．4×??

?3?

答案 B

?3?n－1

B．4×??

?2??2?n－1

D．4×??

?3?

?6?2

解析 由题意得(a＋1)＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以an＝4×??

?4?

n－1

?3?n－1

＝4×??.

?2?

2．[xx·常州模拟]在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为( ) 111A．1 B．－ C．1或－ D．－1或

222答案 C

?a1q＝7，?

解析 根据已知条件得?2

??a1＋a1q＋a1q＝21，

2

∴

1＋q＋q2

q2

12

＝3，即2q－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.

2

3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则S9的值是( ) A．255 B．256 C．511 D．512 答案 C

解析 解法一：依题意，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵S3＝7，S6＝63，∴

???a??

a11－q3

＝7，

1－q1

1－q1－q6

＝63，

解得?

?a1＝1，???q＝2，

∴S9＝511，选C.

解法二：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∵S3＝7，

S6＝63，∴S9－S6＝448，∴S9＝448＋S6＝448＋63＝511，选C.

4．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( ) A．7 C．－5 答案 D

解析 设数列{an}的公比为q??a4＋a7＝2，

，由?

?a5·a6＝a4·a7＝－8，?

B．5 D．－7

??a4＝4，

得?

?a7＝－2?

或

1 / 10

??a4＝－2，?

?a7＝4，?

a1＝－8，??

所以?31

q＝－?2?

??a1＝1，

或?3

?q＝－2，?

??a1＝－8，

所以?

?a10＝1?

??a1＝1，

或?

?a10＝－8，?

所以

a1＋a10＝－7.

19

5．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a3a5＝a1，且a4与a7的等差中项为，

48则S5等于( )

A．35 B．33 C．31 D．29 答案 C

111266

解析 设等比数列{an}的公比是q，所以a3a5＝a1q＝a1，得a1q＝，即a7＝.又a4＋a7

4449a711a11－q3

＝2×，解得a4＝2，所以q＝＝，所以q＝，a1＝16，故S5＝

8a4821－q31，故选C.

6．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.

3答案

2

??a1＋a1q＝3a1q＋2，

解析 由题意得?233

??a1＋a1q＋a1q＋a1q＝3a1q＋2，

5

1??16?1－?

?32?＝＝11－2

32322

两式作差，得a1q＋a1q＝3a1q(q－1)，即2q－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)．

27．等比数列{an}满足：对任意n∈N2(an＋2－an)＝3an＋1，an＋1>an，则公比q＝________. 答案 2

122

解析 由题知2(anq－an)＝3anq，即2q－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－，又an＋1>an，

2故q＝2.

8．[xx·重庆模拟]已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，

*,

a2，a5成等比数列，则S8＝________.

答案 64

解析 由a1、a2、a5成等比数列，得(a1＋d)＝a1(a1＋4d)，即(1＋d)＝1＋4d，解得d＝1＋15

2(d＝0舍去)，S8＝×8＝64.

2

1

9．[xx·全国卷Ⅰ]已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1

3＋bn＋1＝nbn.

(1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和．

2

2

2 / 10

1

解 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差

3为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.

(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，

31

因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．

3记{bn}的前n项和为Sn，

bn?1?n1－??

1?3?3

则Sn＝＝－n－1.

122×31－3

10．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn＋1＋Sn. (1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝a2n－1·2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)因为an＋1＝Sn＋1＋Sn，① 所以当n≥2时，an＝Sn＋Sn－1，② ①－②得an＋1－an＝an＋1＋an， 即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an， 因为an>0，所以an＋1－an＝1，

所以数列{an}从第二项起，是公差为1的等差数列． 由①知a2＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2， 所以当n≥2时，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n.③ 又因为a1＝1也满足③式，所以an＝n(n∈N)． (2)由(1)得bn＝a2n－1·2an＝(2n－1)·2，

n*

2

2

22

2

2

Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④

2Tn＝2＋3·2＋…＋(2n－3)·2＋(2n－1)·2

2

2

3

nn＋1

，⑤

n＋1

④－⑤得－Tn＝2＋2×2＋…＋2×2－(2n－1)·22·1－2

所以－Tn＝2＋

1－2故Tn＝(2n－3)·2

n＋13

n，

n－1

－(2n－1)·2

n＋1

，

＋6.

[B级 知能提升](时间：20分钟)

11．[xx·天津高考]设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( )

A．充要条件 C．必要而不充分条件 答案 C

解析 若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0，则a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0；若q<0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件．故选C.

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B．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件

a2

a1

12．[xx·安徽六校素质测试]在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项的和，则S10－S4＝( )

A．1008 B．xx C．2032 D．4032 答案 B

解析 由题意知2(a4＋2)＝a2＋a5，即2(2q＋2)＝2q＋2q＝q(2q＋2)，得q＝2，所以2

an＝2，S10＝

n3

4

3

1－21－2

10

2

＝2－2＝2046，S4＝

11

1－21－2

4

＝2－2＝30，所以S10－S4＝xx，故

5

选B.

13．已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝________.

答案 1024

解析 ∵b1＝＝a2，b2＝，∴a3＝b2a2＝b1b2. ∵b3＝，∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1， ∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)＝2＝1024.

35*

14．[xx·广东高考]设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且

24当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

?1?

(2)证明：?an＋1－an?为等比数列；

2??

10

10

an＋1

，若b10·b11＝2，则a21＝ana2a1a3a2

a4a3

(3)求数列{an}的通项公式． 解 (1)∵4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1， ∴n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，

∴4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，

357?35??3?∴4×?1＋＋＋a4?＋5×?1＋?＝8×( 1＋＋ )＋1，解得a4＝. 248?24??2?(2)证明：∵n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1， ∴4(Sn＋2－Sn＋1)－2(Sn＋1－Sn) ＝2?

?Sn＋1－Sn－1Sn－Sn－1?，

?2??

1

∴(Sn＋2－Sn＋1)－(Sn＋1－Sn)

21?＝?2?

Sn＋1－Sn－

1

Sn－Sn－1??， 2?

1?11?∴an＋2－an＋1＝?an＋1－an?.

2?22?1?11?

又a3－a2＝?a2－a1?，

2?22?

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