第10讲 等差数列与等比数列
本节主要内容有等差数列、等比数列的基本知识，a1、an、d或q、n、Sn的基本关系 1.理解等差、等比数列的概念，掌握等差数列定义的多种表达形式，能判断一个数列是不是等差数列．
2.掌握等差、等比数列的常规简单性质，并能应用于解题，能灵活应用等差、等比中项的性质． 3.求公差、公比．首项．项数时的基本量思想，方程思想，巧用设而不求的方法进行整体代换的思想，从特殊到一般探索推广结论的创新意识．
A类例题 例1给定公比为q(q?1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6,?, bn=a3n－2+a3n－1+a3n,?，则数列{bn}( )
A.是等差数列 B.是公比为q的等比数列
C.是公比为q3的等比数列 D.既非等差数列也非等比数列 (1999年全国高中数学联赛)
－
分析 利用等比数列的推广的通项公式an= am qnm.
－
解 由题设, an= a1qn1,则a3n+3= a3n q3、 a3n+2= a3n－1 q3、a3n+1= a3n－2 q3. q3(a3n－2+a3n－1+a3n)3bn+1a3n+1+a3n+2+a3n+3故 b= = =q.
a3n－2+a3n－1+a3nn a3n－2+a3n－1+a3n
例2 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数
列共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (1997年全国高中数学联赛)
分析 利用等差数列的求和公式及分类讨论思想. 解 ： 由Sn?na1?n(n?1)2
d?972即2na1+(n－1)d=2×97， 2则n[2al+(n－1)d]= 2×972，且2a1+(n－1)d是非负整数．故n是2 ×972的正 因数，且n≥3，于是n=97、972、2 ×97或2 ×972．
(1)若n=97，则2al+96d=2 ×97，且al与d是非负整数，由2 al = 2 ×97－96d≥0可得0≤d≤, 且d∈Z，所以d=0，1，2，代人2 al +96d= 2 ×97得
?d?0?d?1?d?2或或, 故当n=97时，符合题意的等差数列有3个． ???a?97a?49a?1?1?1?1(2)若n=972，则2 al +(972－1)d=2，由2al =2－(972－1)d≥0得0≤d≤故d=0．此时al =1即n=972时，符合题意的等差数列只有1个．
2 972?197，212(3)若n=2×97，则2 al +(2×97－1)d=97，即 0≤d＜1．所以d=0，此时al =不台题意．
(4)若n= 2×972，则2 al +(2×972－1)d=1，即0≤d＜1．所以d=0，此时al=，不合题意．
故当n=2×97或2×972时，符合题意的等差数列不存在． 综上所述，符合题意的等差数列共有3+1=4个故选( C )
情景再现
1．(2005年全国高考题)在等差数列?an?中，公差d?0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1、a3、 ak1、
ak2...、akn、...成等比数列，求数列{kn}的通项kn
2．三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项(不一定是连续的)．(第2届美国中学生数学竞赛试题)
B类例题 例3 (2004年浙江理科卷) ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、 Y（0,2）,设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线
段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的 坐标为(xn,yn),an?C1yn?yn?1?yn?2. 2P2P3OBP1（Ⅰ）求a1,a2,a3及an; （Ⅱ）证明yn?4?1?yn,n?N?; 4?X (Ⅲ)若记bn?y4n?4?y4n,n?N,证明?bn?是等比数列．
分析 本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问
题和解决问题的创新能力． 利用图形及递推关系即可解决此类问题． 解 (Ⅰ)因为y1?y2?y4?1,y3?13,y5?， 24所以a1?a2?a3?2，又由题意可知yn?3?yn?yn?1 2∴an?1?y?y111yn?1?yn?2?yn?3 =yn?1?yn?2?nn?1=yn?yn?1?yn?2?an,
2222∴?an?为常数列．∴an?a1?2,n?N?. (Ⅱ)将等式
1yn?yn?1?yn?2?2两边除以2， 2得
y?yn?21yn?n?1?1, 42
又∵yn?4?yn?1?yn?2y , ∴yn?4?1?n. 24y4n?4y11)?(1?4n)=?(y4n?4?y4n) =?bn,
4444（Ⅲ）∵bn?1?y4n?3?y4n?4?(1? 又∵b1?y3?y4??11?0, ∴?bn?是公比为?的等比数列． 44说明 本题符号较多，有点列{Pn}，同时还有三个数列{an}，{yn }，{ bn}，再加之该题是压轴题，
因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分．
例4 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且 (5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B,n?1,2,3,…，其中A,B为常数．
来源学。科。网（Ⅰ）求A与B的值；
（Ⅱ）证明数列{an}为等差数列．(2005年江苏卷)
分析本题是一道数列综合运用题，第一问由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入关系式，即求出A、B；第二问利用an?sn?sn?1(n?1)公式，推导得证数列{an}为等差数列．
解 （1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18． 由(5n－8)Sn+1－(5n+2)Sn=An+B知
??3S2?7S1?A?B,?A?B??28.即? ?2S?12S?2A?B,2A?B??48.2??3 解得 A=－20， B=－8．
（Ⅱ）方法1 由（1）得，（5n－8）Sn+1－(5n+2)Sn=－20n－8, ① 所以 (5n－3)Sn+2－(5n+7)Sn+1=－20n－28, ② ②－①,得, (5n－3)Sn+2－(10n－1)Sn+1+(5n+2)Sn=－20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3－(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=－20．④ ④－③,得 (5n+2)Sn+3－(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1－(5n+2)Sn=0． 因为 an+1=Sn+1－Sn 所以 (5n+2)an+3－(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0． 又因为 (5n+2)?0, 所以 an+3－2an+2+an+1=0, 即 an+3－an+2=an+2－an+1, n?1． 又 a3－a2=a2－a1=5,
所以数列{an}为等差数列． 方法2．
由已知，S1=a1=1,
又(5n－8)Sn+1－(5n+2)Sn=－20n－8,且5n－8?0,
所以数列{sn}是惟一确定的，因而数列{an}是惟一确定的．
n(5n?3), 2(n?1)(5n?2)n(5n?3)?(5n?2)??20n?8, 于是 (5n－8)Tn+1－(5n+2)Tn=(5n－8)
22
设bn=5n－4,则数列{bn}为等差数列，前n项和Tn=由惟一性得bn=a,即数列{an}为等差数列．
说明 本题主要考查了等差数列的有关知识,考查了分析推理、理性思维能力及相关运算
能力等．
例5 (湖南省2002年高中数学竞赛)一台计算机装置的示意图如图，其中J1，J2表示数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数K由C输出，若此种装置满足以下三个性质： ①J1，J2分别输入1，则输出结果1；
②若J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；
③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问： （Ⅰ）若J1输入1，J2输入自然数n，则输出结果为多少？ （Ⅱ）若J2输入1，J1输入自然数m，则输出结果为多少？
（Ⅲ）若J1输入自然2002，J2输入自然数9，则输出结果为多少？
分析 本题的信息语言含逻辑推理成分，粗看不知如何入手．若细品装置的作用，发现可以把条件写成二元函数式，将逻辑推理符号化，并能抽象出等比数列或等差数列的模型． 解 J1输入m，J2输入n时，输出结果记为f（m，n），设f（m，n）=k，则f（1，1）=1，f（m，n+1）=f（m，n）+2，f（m+1，1）=2f（m，1） （2分） （Ⅰ）因为f（1，n+1）=f（1，n）+2， 故f（1，1），f（1，2），?，f（1，n），?组成以f（1，1）为首项，2为公差的等差数列． 所以，f（1，n）=f（1，1）+2（n－1）=2n－1； （Ⅱ）因为f（m+1，1）=2f（m，1）， 故f（1，1），f（2，1），?，f（m，1）?组成以f（1，1）为首项，2为公比的等比数列．
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所以，f（m，1）=f（1，1）?2m1=2 m1，
（Ⅲ）因为f（m，n+1）=f（m，n）+2，故f（m，1），f（m，2），?，f（m，n），?组成以f（m，1）为首项，2为公差的等差数列．
－
所以，f（m，n）=f（m，1）+2（n－1）=2 m1+2n－2，f（2002，9）=22001+16
说明 解题关键点首先要读懂题目，理解题意，要充满信心．这种给出陌生的背景（问题的情景），文字叙述比较长的题目，其实所涉及数学知识往往比较简单，剔除伪装并符号化，就是我们熟悉的问题．
例6 设正数列a0,a1,a2,?,an,?满足anan?2?an?1an?2?2an?1(n≥2)且a0=a1=1．求{an}的通项公式． (1993年全国高中数学联赛)
情景再现
3． 已知数列an的首项a1?a（a是常数），an?2an?1?n2?4n?2（n?N,n?2）． （Ⅰ）?an?是否可能是等差数列．若可能，求出?an?的通项公式；若不可能，说明理由；
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