（Ⅱ）设b1?b，bn?an?n2（n?N,n?2），Sn为数列?bn?的前n项和，且?Sn?是等比数列，求实数a、b满足的条件．
t2t?24． 已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0．
42[来源学科网]
(1)求y=f(x)的表达式；
(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1 , ［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn；
(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn．
C类例题 例7 实数x为有理数的充分必要条件是：数列x，x+1，x+2，x+3，?中必有3个不同的项，它们组成等比数列．(加拿大1993年高中竞赛题)
证明：(1)充分性：若3个不同的项x+i，x+j，x+k成等比数列，且i＜j＜k，
来源学科网ZXXK]则(x+I)(x+k)=(x+j)2，即x(i?k?2j)?j2?ik．
若i?k?2j?0，则j2?ik?0，于是得i=j=k与i＜j＜k矛盾． j2?ik 故i?k?2j?0,x?且i、j、k都是正整数，故x是有理数．
i?k?2j(2)必要性：若x为有理数且x≤0，则必存在正整数k，使x+k>0．令y=x+k，
则正数列y、y+1、y+2、?是原数列x，x+1，x+2，x+3，?的一个子数列，只要正数列y，y+l，y+2,?中存在3个不同的项组成等比数列，那么原数列中必有3个不同的项组成等比数列，因此不失一般性，不妨设x＞0． ①若x∈N,设q是大于l的正整数，则xq－x、xq2－x都是正整数．令i=xq－x, j=xq2－x
则i n (m、n∈N，且m、n互质，m≠1)．可以证明，x，x+n，x+(m+2)n，m 这三个不同的项成等比数列， nnnnn 事实上，x[x+(m+2)n]= m(m+mn+2n)=(m)2+n2+2m·n=(m+n)2. 所以x[x+(m+2)n] =( x+n)2.，即三项x，x+n，x+(m+2)n成等比数列． 综上所述，实数x为有理数的充分必要条件是数列x，x+1，x+2，x+3，?中必有3个不同的项．它们组成等比数列. n时，在数列x，x+1，x+2，x+3，?寻求组m成等比数列的三项，这三项是x，x + n, x+(m+2)n． 说明 以上证明巧妙之处在于：当x是正分数 例8 设S={1，2，3，?，n}，A为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)． (1991年全国高中数学联赛二试) 分析 可先通过对特殊的n(如n=1，2，3)，通过列举求出A的个数，然后总结规律，找出 an 的递推关系，从而解决问题；也可以就A的公差d=1，2,?，n－1时，讨论A的个数· 解 设A的公差d,则1≤d≤n－1. nn (1)设n为偶数,则当1≤d≤2.公差d的A有d个;当2≤d≤n－1. 公差d的A有n－d个. nn1 故当n为偶数时,这样的A有：(1+2+3+?+ )+[1+2+3+?+(n－－1)]= n2. 224(2)设n为奇数,则当1≤d≤ n－1n+1 .公差d的A有d个;当≤d≤n－1. 公差d的A有n－d个. 22 n－1n－11 故当n为奇数时,这样的A有：(1+2+3+?+)+(1+2+3+?+)= (n－1)2. 2241 综上所述：这样的A有[n2]． 4 情景再现 5．设数列{an}的首项a1=1，前n项和sn满足关系式3tsn?(2t?3)sn?1?3t(t>0,n∈ N,n≥2)． （1） 求证数列{an}是等比数列； （2） 设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1?1，bn?f(1)，(n∈ N,n≥2)，bn?1求bn． 6．已知数列{an}是由正数组成的等差数列，m ,n，k为自然数，求证： 112 (1)若m+k=2n，则2+2=2; amakan (2) 11112n?1 +2+?+2+2≥2(n＞1)． 2a1a2a2n?2a2n?1an 习题10 A类习题 1．(2004年重庆卷)若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0,a2003.a2004?0，则使前 n项和Sn?0 成立的最大自然数n是 （ ） A．4005 B．4006 C．4007 D．4008 ac2．已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则?=_________． xy3．等比数列{an}的首项a1?1536,公比q??最大的是( ) 1,用?n表示它的前n项之积．则?n(n?N)2 A．?9 B．?11 C ．?12 D．?13 (1996年全国高中数学联赛) 4．给定正数p,q,a,b,c，其中p?q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方 程bx2－2ax+c=0( ) (2000年全国高中数学联赛) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个同号相异实根 D ．有两个异号实根 5．已知数列?an?是首项a1?0，且公比q??1,q?0的等比数列，设数列?bn?的通项 bn?an?1?kan?2.(n?N?)，数列?an?．?bn?的前n项和分别为sn,Tn，如果Tn>ksn，对一 切自然数n都成立，求实数R的取值范围． 6．(2000年高考新课程卷)（I）已知数列?cn?，其中cn?2n?3n，且数列?cn?1?pcn?为等比数列，求常 数p． （II）设?an?、?bn?是公比不相等的两个等比数列，cn?an?bn，证明数列?cn?不是等比数列． B类习题 7．已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折 线． n?y?n?1(n?0,1,2???)时，该图象是斜率为bn的线段 （其中正常数b?1）， ），n?y?n?1(n?0,1,2???)时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b?1设数列{xn}由f(xn)?n(n?1,2,???)定义. （）求1x1.x2.和xn的表达式； （2）求f(x)的表达式，并写出其定义域；（3）证明：y?f(x)的图象与y?x的图象没有横坐标大于1的交点8．（2004年春季北京卷) 下表给出一个“等差数阵”： 4 7 7 12 （ ） （ ） （ ） ? （ ） （ ） （ ） ? a1j ?? a2j ?? a3j ?? a4j ?? ?? ?? （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ? （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ai1 ?? ai2 ?? ai3 ?? ai4 ?? ai5 ?? aij ?? ?? ?? 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数． （I）写出a45的值； （II）写出aij的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置． （III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积． 9．(2006年全国高考上海春季卷)已知数列a1,a2,?,a30，其中a1,a2,?,a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10,a11,?,a20是公差为d的等差数列；a20,a21,?,a30是公差为d2的等差数列（d?0）． （1）若a20?40，求d； （2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围； （3）续写已知数列，使得a30,a31,?,a40是公差为d3的等差数列，??，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 10．(第8届希望杯第二试)在△ABC中，三边长为a7，b=2，c=3．作△ABC的内切圆⊙O1，再作与边AB、AC和⊙O1都相切的⊙O2，又作与AB、AC与⊙O2都相切的⊙O3，如此继续下去作这样相切的圆，求所有这种圆面积的和． C类习题 11． (第2届美国数学邀请赛试题)如果{an}是等差数列，公差是1，a1+ a2+ a3+?+ a98=137，求a2 +a4 +a6 +?+a98 之值． 12．(2003年全国高考江苏卷)设a?0,如图，已知直线l:y?ax及曲线C：y?x,C上的点Q1的横坐标为a1 （0?a1?a）．从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点Pn?1，再从点Pn?1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1．Qn（n=1，2，3，?）的横坐标构成数列?an?. （Ⅰ）试求an?1与an的关系，并求?an?的通项公式； n11 （Ⅱ）当a?1,a1?时，证明?(ak?ak?1)ak?2?； k?12322y r2 c Q3 Q2 l O r1 Q1 a1a2a3x
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