(2)由(1)知f(x)＝x－x，
所以f′(x)＝x－123
322
3232＝(x－1)(x＋1)．
32 当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－1 所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上为减函数．所以当 x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1. 10．求下列函数的极值． (1)f(x)＝＋3ln x； 3x(2)f(x)＝sin x－cos x＋x＋1(0 解：(1)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， 3x333（x－1）f′(x)＝－＋＝， x2xx2 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，1)－ 103 (1，＋∞) ＋f′(x)f(x)单调递减 单调递增因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值．(2)由f(x)＝sin x－cos x＋x＋1，0 知f′(x)＝cos x＋sin x＋1，0 π 于是f′(x)＝1＋2sin(x＋)，0 4 令f′(x)＝0，从而π2sin(x＋)＝－，42又因为0 32当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，π) π (π，π)3 3π (π，2π)3222 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 π＋2 单调递减 32π 单调递增 因此，当x＝32π时，f(x)有极小值32π； 当x＝π时，f(x)有极大值π＋2. [B 能力提升] 11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值， 则函数y＝xf′(x)的图象可能是( 解析：选C.因为f(x)在x＝－2处取得极小值， 所以当x＜－2时， f(x)单调递减， 即f′(x)＜0； 当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0. 所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0； 当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0； 当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0； 当x＝0时，y＝xf′(x)＝0； 当x＞0时，y＝xf′(x)＞0. 结合选项中图象知选C. 12．若函数f(x)＝x3 －3ax＋1在区间(0，1)内有极小值，则a的取值范围为________． 解析：f′(x)＝3x2 －3a. 当a≤0时，在区间 (0，1)上无极值． 当a>0时，令f′(x)>0， 解得x>a或x<－a. 令f′(x)<0，解得－a ) 若f(x)在(0，1)内有极小值，则0 解得0 3 2 13．设a为实数，函数f(x)＝x－x－x＋a. (1)求f(x)的极值； (2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？ 解：(1)f′(x)＝3x－2x－1. 令f′(x)＝0， 2 则x＝－或x＝1. 13当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 1??－∞，－?3??? ＋ －013 1??－，1??3?? － 10 (1，＋∞) ＋f′(x)f(x)极大值 极小值所以f(x)的极大值是f?－?＝ ?1?5＋a， ?3?273 2 极小值是f(1)＝a－1. (2)函数f(x)＝x－x－x＋a＝(x－1)(x＋1)＋a－1， 2 由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0， x取足够小的负数时，有f(x)<0， 所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点． 由(1)知f(x)极大值＝f?－?＝＋a， ?1?5?3?27f(x)极小值＝f(1)＝a－1. 因为曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点， 所以f(x)极大值<0或f(x)极小值>0， 即＋a<0或a－1>0，所以a<－或a>1， 527527 所以当a∈?－∞，－?∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点． 27??5?? 14．(选做题)已知函数f(x)＝(x＋ax＋a)e(a≤2，x∈R)． (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； 2x(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理 2 由． 解：(1)f(x)＝(x＋x＋1)e， xf′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex， 当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1， 当f′(x)<0时，解得－2 所以函数的单调增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)； 单调减区间为(－2，－1)． xx(2)令f′(x)＝(2x＋a)e＋(x＋ax＋a)e＝[x＋(2＋a)x＋2a]e＝(x＋a)(x＋2)e＝ 得x＝－a或x＝－2， 0， x2x2 因为a≤2，所以－a≥－2. 列表如下： －2 x (－∞， －2)＋ －20 (－2， －a)－ －a0(－a，＋∞)＋f′(x)f(x)极大值 极小值由表可知，f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e＝3，2 解得a＝4－3e≤2，所以存在实数a≤2，使f(x)的极大值为3，此时a＝4－3e. 2
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