5.4 统计与概率的应用
A级： “四基”巩固训练
1．山东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所产2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2500套座椅中大约有多少套次品？
n5
解 设有n套次品，由频率估计概率可得2500≈100， 解得n≈125.
所以该厂所产2500套座椅中大约有125套次品．
2．甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率； (2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解 (1)设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包括的样本点有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36个5等可能的样本点，故P(A)＝36.
(2)这种游戏规则是公平的．设甲赢为事件B，乙赢为事件C，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的样本点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共1818111
个．所以甲赢的概率P(B)＝36＝2，故乙赢的概率P(C)＝1－2＝2＝P(B)，所以这种游戏规则是公平的．
3．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
(1)记事件A为：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；
(2)记事件B为：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内60＋50
出险次数小于2的频率为200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一30＋30
年内出险次数大于1且小于4的频率为200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 频率
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
4．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高精灵”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“帅精灵”，已知A大学志愿者的身高的平均数为176，B大学志愿者的身高的中位数为168.
0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 0.05
(1)求x，y的值；
(2)如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中随机选2人，求至少有1人为“高精灵”的概率．
解 (1)由茎叶图得
159＋168＋170＋170＋x＋176＋182＋187＋191
＝176，
8160＋y＋169
＝168， 2解得x＝5，y＝7.
(2)由题意可得，20名志愿者中，“高精灵”有8人，“帅精灵”有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数55
分别为8×20＝2,12×20＝3.
记抽取的“高精灵”分别为b1，b2，“帅精灵”分别为c1，c2，c3， 从已经抽取的5人中任选2人的所有样本点为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10个，且这10个样本点发生的可能性是相等的．
记从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵”为事件A，则A包括的样本点有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共77
个，故P(A)＝10. 因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从7这5人中随机选2人，至少有1人为“高精灵”的概率为10.
B级：“四能”提升训练
为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩(单位：分)，按照
[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假设每名学生的成绩均不低于50分)．
(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．
解 (1)由频率分布直方图可得，第4组的频率为1－0.1－0.3－0.3－0.1＝0.2.0.2
则x＝10＝0.02.
故可估计所抽取的50名学生的成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74.
由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．
设中位数为t，则有(t－70)×0.03＝0.1， 220220得t＝3，即所求的中位数为3. (2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6＝1200.
(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.
记成绩在[70,80)的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80,90)的2名学生分别为d，e，成绩在[90,100]的1名学生为f，则从中随机抽取3人的所有样本点为(a，
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