安阳师范学院人文管理学院本科毕业论文（设计）
得极小值；
（2） 若x?(x0??,x0)时，f?(x)?0，当x?(x0,x0??)时f?（x）?0，则f(x)在x0处取得极大值。
1?2?2?x(2?sin),x?0o0）例3 判断函数f(x)??在?U（的单调性。 x?x?0?2,00）内 解：函数f(x)在x?0处取得极大值f(0)?2,但在?U（11f?(x)??2x(2?sin)?cos
xx有正有负，从而f(x)在x?0的左右两侧都不单调。
定理7（极值的第二充分条件）
设函数f(x)在x0的某领域U（x0;?）内一阶可导，在x?x0处二阶可导，且f?(x0)?0，
f??(x0)?0。
（1）当f??(x0)?0，则函数f(x)在x0处取得极大值； （2）当f??(x0)?0，则函数f(x)在x0处取得极小值。 证明：在情形（1），由于f??(x0)?0，按二阶导数的定义有 f??(x0)?limf?(x)?f?(x0)?0
x?x0x?x0根据函数极限的局部保号性，存在x0的某个去心邻域U（x0;?），在该邻域内有
f?(x)?f?(x0)?0；
x?x0则在x?x0时，f?(x)?0，在x?x0时，f?(x)?0。由极值的定义可知，函数f(x)在x0处取得极大值。
同理，可证明（2）当f??(x0)?0，函数f(x)在x0处取得极小值。
例4 设函数y?y(x)由方程y??y2?x所确定，且y??x0??0。问y?y(x)在x0处是否取得极值？若取得极值，是极大值还是极小值？
解：因为y?(x)?y2(x)?x?0，所以y??(x)?2y(x)y?(x)?1?0，即
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y??(x)?2y(x)y?(x)?1
又 ?y??(x0)?2y(x0)y?(x0)?1?1?0，y?(x0)?0，?y(x)在x0处取得极小值。 3、函数单调性的判别
3.1 初等数学中函数单调性的判别
在最初对函数的学习中，我们主要学习了一次函数、二次函数、指数函数、幂函数、分段函数等。在对这些函数的学习中我们主要结合了函数的图像来判断函数的单调性。
3.1.1 一次函数单调性的判别 一次函数的解析式：f(x)?ax?b 当a?0时，对应定义域内图像是上升的： 当a?0时，对应定义域内图像是下降的；
当a?0时，一次函数变成为常数，不讨论单调性。 3.1.2 二次函数单调性的判别
二次函数的解析式f(x)?ax2?bx?c，其图形形式为抛物线。其中当a?0时，抛物线
b2bb开口向上，当抛物线在x??时，函数有最小值y=c?，即在(??,?]上为单调递
4a2a2a减函数；其中当a?0时，抛物线开口向上，当抛物线在x??b2by=c?，即在[?,??)上为单调递增函数。
2a4ab时，函数有最大值2a3.1.3 指数函数单调性的判别
指数函数的一般解析式f(x)?ax,其中a?0且过点（0,1）。其中当0?a?1时，函数在定义域内为单调递减函数,其中当a?1时，函数在定义域内为单调递增函数。0?a?1时，
a的值越小函数值下降越快；a?1时，a的值越大数值增加越快。
3.1.4 对数函数单调性的判别
对数函数的一般解析式f?x??logax,其中a?0且过点?1,0?。其中当0?a?1时，函数在定义域内为单调递减函数，其中当a?1时，函数在定义域内为单调递增函数。当0?a?1时,a的值越小函数值下降越快；当a?1时,a的值越大函数值增加越快。
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3.2 高等数学中利用导数判别函数单调性
设函数y?f(x)在x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量?x（在点
x0??x仍在邻域内）时，相应地函数取得增量?y?f(x0??x)?f(x0)；如果?y与?x之比，在?x?0时的极限存在，这称函数y?f(x)在点x0处可导，并且称这个极限为函数y?f(x)在点x0处的导数，记为f?(x0)，即f'(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y。?lim?x?0?x?x?0?x
导数体现在单调性上就是导数的几何意义：函数y?f(x)在点x0的导数f'(x0)在几何上表示曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率，即f'(x0)?tan?，其中?是切线的
的倾角。也就是说若导数大于零，则函数单调增加，若导数小于零，则函数单调减小。
例1 求证：当0?x??2时，sinx?tanx?2x。
证明：令f(x)?sinx?tanx?2x，则f?(x)?cosx?sec2x?2，则
f??(x)?2sec2xtanx?sinx?sinx(2sec3x?1)?0
??故f?(x)在上单调递增，从而当0?x?时，f?(x)?f?(0)?0 ，于是f(x) （0,）22在 上单调递增，f(x)?f(0)?0，即sinx?tanx?2x。 （0,）24、 函数单调性的解题应用 4.1 单调性在求极值、最值中的应用
4.1.1 一元函数的极值
极值定义：一般地，若函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内对一切x?U(x0)有
f(x0)?f(x) 则称函数f(x)在点x0取得极大值，x0是极大值点。函数f(x)在点x0的某领
?域U(x0)内对一切x?U(x0)有f(x0)?f(x)，则称函数f(x)在点x0取得极小值，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称为极值点。
例1 设a为实数,函数f(x)?x3?x2?x?a. (1)求f(x)的极值。
(2)当a在什么范围内取值时,曲线y?f(x)与x轴仅有一个交点。
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1解：(1)f'(x)?3x2?2x?1，若f'(x)=0，则x??，x?1。
3当x变化时，f'(x)，f(x)变化情况如下表：
x 1(－∞，－) 31－ 31(－，1) 31 0 极小值 (1，+∞) + fxf'(x) fx+ 0 极大值 － f(x) 15?a，极小值是f(1)?a?1 ∴f(x)的极大值是f(?)?327(2)函数f(x)?x?x?x?a?(x?1)(x?1)?a?1
由此可知，取足够大的正数时，有f(x)?0，取足够小的负数时有f(x)?0，所以曲线
y?f(x)与x轴至少有一个交点。
322结合f(x)的单调性可知： 当f(x)的极大值
55?a?0，即a?(??,?)时，它的极小值也小于0，因此曲线
2727y?f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1,?)上。
当f(x)的极小值a－1>0即a?(1,?)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与x1轴仅有一个交点，它在(??,?)上。
3所以，当a?(??,?5)∪(1,?)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点。 27例2 设函数f?x??x3?bx2?cx(x?R)，已知g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数。 （1）求b、c的值。
（2）求g(x)的单调区间与极值。
解：（1）∵f?x??x3?bx2?cx，∴f??x??3x2?2bx?c,从而
g(x)?f(x)?f?(x)?x3?bx2?cx?(3x2?2bx?c) =x3?(b?3)x2?(c?2b)x?c即g(x)是一个奇函数,所以g(0)?0得c?0，由奇函数定义得b?3；
（2） 由（1）知g(x)?x3?6x从而g?(x)?3x2?6，令g?(x)?3x2?6=0，
解得 x??2，由g?(x)?3x2?6?0,解得x?2或x??2，g?(x)?3x2?6?0
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