x2y2【解析】（1）设出椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?，由题意可得a，c，求得b，
ab可得所求方程；
2（2）设抛物线的方程为x?ty，t?0，由焦点到准线的距离解得t，可得所求方程．
【详解】
x2y2解：（1）设椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?，
ab由题意可得2a?4，即a?2，2c?2，即c?1，
b?a2?c2?3，
x2y2则椭圆的标准方程为??1；
432（2）设抛物线的方程为x?ty，t?0，
焦点到准线的距离为5，可得
1t?5，即t??10， 222则抛物线的标准方程为x?10y或x??10y．
【点睛】
本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
x2y21a?b?0）16．已知椭圆C：2?2?（的离心率为
ab3，其两个顶点和两个焦点构3成的四边形面积为22． （1）求椭圆C的方程；
（1,1）（2）过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求
直线l的方程．
x2y2【答案】（1）??1（2）直线l的方程为2x?3y?5?0
32【解析】（1）根据椭圆的几何性质求得a?2，b?3；
（2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程． 【详解】
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解：（1）椭圆C的离心率为c33，??，a2?3c2
a33Qa2?b2?c2?b2?2c2，即b?2c
Q椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为22，?bc?2 ?2c2?2，?c?1，从而得a?3，b?2 x2y2?椭圆C的方程为??1；
32（2）显然，直线l的斜率存在，设该斜率k， 直线l的方程为y?1?k?x?1?，即y?kx?1?k， 直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得：
?3k2?2x2?6k?1?k?x?3?1?k??6?0且该方程显然有二不等根，
?2记A，B两点的坐标依次为?x1,y1?，?x2,y2?，
Qx1?x2?1，即x1?x2?2， 2?6k?k?1?2k??，解得， ?2233k?2?所求直线l的方程为2x?3y?5?0．
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．
（2,2）17．已知抛物线C：y2?2px经过点P，A，B是抛物线C上异于点O的不同的
两点，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）若OA?OB，求VAOB面积的最小值．
2（,0）【答案】（1）抛物线C的方程为y?2x．焦点坐标为，准线方程为x??（2）
1212面积的最小值为4
【解析】（1）根据题意，将P的坐标代入抛物线的方程，可得p的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；
2（2）直线AB的方程为x?ty?a，与抛物线的方程联立，可得y?2ty?2a?0，设
A?x1,y1?，B?x2,y2?，结合OA?OB，结合根与系数的关系分析可得
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2y12y2?y1y2?0，进而可得VAOB面积的表达式，分析可得答案． 4【详解】
解：（1）由抛物线C：y?2px经过点P?2,2?知4p?4，解得p?1．
2则抛物线C的方程为y?2x．
2?1?1抛物线C的焦点坐标为?,0?，准线方程为x??；
2?2?（2）由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：x?ty?a，
?x?ty?a2由?2消去x，得y?2ty?2a?0． ?y?2x设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则y1?y2?2t，y1y2??2a．
2y12y2因为OA?OB，所以x1x2?y1y2?0，即?y1y2?0，
4解得y1y2?0（舍去）或y1y2??4． 所以?2a??4.解得a?2． 所以直线AB：x?所以直线AB过定点
ty?2．
（2,0）．
122SVAOB??2?y1?y2?y12?y2?2y1y2?y12?y2?8?2y1y2?8?4．
2当且仅当y1?2，y2??2或y1??2，y2?2时，等号成立． 所以?AOB面积的最小值为4． 【点睛】
本题考查抛物线的与直线的位置关系，关键是求出抛物线的标准方程，属于中档题．
x2y2318．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点(1,)，一个焦点为(3,0)．
ab2（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y?k(x?1)(k?0)与x轴交于点P，与椭圆C交于A,B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求
ABPQ的取值范围．
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ABx2212【答案】（）椭圆C的方程是（）的取值范围为(4,43)． ?y?1；
PQ4x2y2【解析】【详解】试题分析：（1）求椭圆C的方程，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经
ab过点(1,3一个焦点为(3,0)，故可用待定系数法，利用焦点为(3,0)可得c?3，)，2利用过点(1,133??1，再由a2?b2?c2，即可解出a,b，从而得椭圆，可得)22a4b2（2）求C的方程；
ABPQ的取值范围，由弦长公式可求得线段AB的长，因此可设
y?k(x?1),A(x1,y1),B(x2,y2)，由{x24?y2?1,得，(1?4k)x?8kx?4k?4?0，则x1,x222224k?48k2是方程的两根，有根与系数关系，得x1?x2?，，由弦长公式求xx?1221?4k21?4k得线段AB的长，求PQ的长，需求出P,Q的坐标，直线y?k(x?1)(k?0)与x轴交于点P，可得P(1,0)，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，故先求出线段AB的中点坐标，写出线段AB的垂直平分线方程，令y?0，既得Q点的坐标，从而得PQ2的长，这样就得
ABPQ的取值范围．
a2?b2=3,试题解析：（1）由题意得{1解得a=2，b?1． 3??1,a24b2x2所以椭圆C的方程是?y2?1．
4y?k(x?1),（2）由{x24?y?1,2得(1?4k)x?8kx?4k?4?0．
22224k?48k2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1?x2?，， xx?21221?4k1?4k2?2k4k2?ky1?y2?k(x1?x2?2)?．所以线段的中点坐标为(,)， AB221?4k21?4k1?4k第 12 页 共 15 页
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