2015年江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

考点： 二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： 以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz． （1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可； （2）利用换元法可得cos＜2，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论． 解答： 解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图， 由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）． （1）∵AD⊥平面PAB，∴∵=（1，1，﹣2），=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量， =（0，2，﹣2）， 设平面PCD的法向量为=（x，y，z）， 由，得， 取y=1，得=（1，1，1）， ∴cos＜，＞==， ∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为（2）∵又又=（﹣1，0，2），设=+=λ； =（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1）， =（﹣λ，﹣1，2λ）， ，＞==， =（0，﹣1，0），则=（0，﹣2，2），从而cos＜设1+2λ=t，t∈[1，3]， 则cos＜2，＞==≤， 当且仅当t=，即λ=时，|cos＜因为y=cosx在（0，又∵BP==，＞|的最大值为， ）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值． ，∴BQ=BP=． 17

点评： 本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 26．（10分）（2015?江苏）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N），设Sn={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数． （1）写出f（6）的值；

（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明． 考点： 数学归纳法． 专题： 综合题；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）f（6）=6+2++=13； *

（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论． 解答： 解：（1）f（6）=6+2++=13； （2）当n≥6时，f（n）=． 下面用数学归纳法证明： ①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立； ②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论： 1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2+结论成立；

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+，

2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立； ++2=（k+1）3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2++2++，结论成立； 4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2++，结论成立； +2=（k+1）5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2++2++，结论成立； ++2=（k+1）6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2++，结论成立． +2=（k+1）综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立． 点评： 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键． 19

2015年江苏省高考数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 ． 2．（5分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ．

3．（5分）（2015?江苏）设复数z满足z=3+4i（i是虚数单位），则z的模为 ． 4．（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ．

2

5．（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．

6．（5分）（2015?江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ．

7．（5分）（2015?江苏）不等式2

8．（5分）（2015?江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 ． 9．（5分）（2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ． 10．（5分）（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．

11．（5分）（2015?江苏）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N），则数列{10项的和为 ．

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*

＜4的解集为 ．

}的前