.2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)
【明目标、知重点】
1．理解样本数据标准差的意义，会计算样本平均数和标准差．
2．体会用样本估计总体的思想，会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征． 【填要点、记疑点】 1．标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝ 1
[?x1－x?2＋?x2－x?2＋…＋?xn－x?2]. n
标准差的平方s2叫做方差．
1
s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2](xn是样本数据，n是样本容量，x是样本
n平均数)． 【探要点、究所然】 探究点一 标准差
问题 平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的
片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．所以，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你理应如何对这次射击作出评价？ 思考1 甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？
1
答 经计算得：x甲＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x乙＝7.
10思考2 观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？
答 直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中．
思考3 对于甲乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其它方法来说明两
组数据的分散水准？
答 还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散水准．甲的环数极差＝10－4＝6，乙的环数极差＝9－5＝4.它们在一定水准上表明了样本数据的分散水准，与平均数一起，能够给我们很多关于样本数据的信息．显然，极差对极端值非常敏感，注意到这个点，我们能够得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略． 思考4 如何用数字去刻画这种分散水准呢？
答 考察样本数据的分散水准的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示 . 思考5 所谓“平均距离”，其含义如何理解？
答 假设样本数据是x1，x2，…，xn，x表示这组数据的平均数．xi到x的距离是|xi－x|(i＝1,2，…，n)．于是，样本数据是x1，x2，…，xn到x的“平均距离”是
|x1－x|＋|x2－x|＋…＋|xn－x|S＝.因为上式含有绝对值，运算不太方便，所以，通常
n改用如下公式来计算标准差： s＝
1[?x1－x?2＋?x2－x?2＋…＋?xn－x?2]. n
思考6 标准差的取值范围如何？若s＝0表示怎样的意义？
答 从标准差的定义能够看出，标准差s≥0，当s＝0时，意味着所有的样本数据等于样本平均数． 探究点二 方差
思考1 方差的概念是怎样定义的？
答 人们有时用标准差的平方s2—方差来代替标准差，作为测量样本数据分散水准的工1
具，方差：s2＝·[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．
n
思考2 对于一个容量为2的样本：x1，x2(x1＜x2)，它们的平均数和标准差如果分别用x和a
表示，那么x和a分别等于什么？
11
答 x＝(x1＋x2)，a＝(x2－x1)．
22
思考3 在数轴上，x和a有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散水准有何
影响？
答 x和a的几何意义如下图所示．说明了标准差越大离散水准越大，数据较分散；标准差越小离散水准越小，数据较集中在平均数周围．
思考4 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道的．如
何求得总体的平均数和标准差呢？
答 通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．
例1 求出问题中的甲乙两运动员射击成绩的标准差，并说明他们的成绩谁比较稳定？
1
解 x甲＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x乙＝7.根据标准差的公
10式， s甲＝
1
[?7－7?2＋?8－7?2＋…＋?4－7?2]＝2； 10
同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙．
因此说明甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小．由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定．
反思与感悟 标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定．标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定． 跟踪训练1
如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________． 答案 6.8
解析 从茎叶图中求出运动员在5次比赛中的分数，结合方差公式求解．
依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋15
＝11.
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