小波分析在图像去噪的应用

题目：小波分析在图像去噪的应用

专 业： 电子与通信工程 学 号： 1320610012 学生姓名： 王文平 指导教师： 于贵江

一、小波的概述

小波是克服其他信号处理技术缺陷的一种分析信号的方法。小波由一族小波基函构成，它可以描述信号时间（空间）和频率（尺度）域的局部特性。采用小波分析最大优是可对信号进行实施局部分析，可在任意的时间或空间域中分析信号。小波分析具有发现他信号分析方法所不能识别的、隐藏于数据之中的表现结构特性的信息，而这些特性对机故障和材料的损伤等识别是尤为重要的。如何选择小波基函数目前还没有一个理论标准，常用的小波函数有 Haar、 Daubechies(dbN)、 Morlet、 Meryer、Symlet、Coiflet、Biorthogonal 小波等15种。但是小波变换的小波系数为如何选择小波基函数提供了依据。小波变换后的系数比较大，就表明了小波和信号的波形相似程度较大；反之则比较小。 另外还要根据信号处理的目的来决定尺度的大小。如果小波变换仅仅反映信号整体的近似特征，往往选用较大的尺度；反映信号细节的变换则选用尺度不大的小波。由于小波函数家族成员较多，进行小波变换目的各异，目前没有一个通用的标准。

近些年，小波分析被广泛用于图像的压缩、降噪、平滑和融合等方面，在人脸识别、医学图像处理、机器人视觉、数字电视等领域受到人们越来越多的重视。基于二维小波分析进行图像处理具有坚实的理论基础，MATLAB软件在小波工具箱中也提供了强大的图像处理功能，包括采用命令行和图形用户接口等。

二、离散小波变换

在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波?a,b(t)和连续小波变换Wf(a,b)的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。在连续小波中，考虑函数：

?1/2?a,b(t)?a?(t?b) a这里b?R，a?R?，且a?0，?是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件就变为

C????0?(?)?d??? ?通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散公式分别取作

a?a0j,b?ka0jb0，这里j?Z，扩展步长a0?1是固定值，为方便起见，总是假定。所以对应的离散小波a0?1（由于m可取正也可取负，所以这个假定无关紧要）函数?j,k(t)即可写作

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?j,k(t)?a?j/20t?ka0jb0?j/2?j?()?a?(a00t?kb0) ja0而离散化小波变换系数则可表示为

Cj,k??f(t)?*j,k(t)dt??f,?j,k?

???其重构公式为

f(t)?C??Cj,k?j,k(t)

??????C是一个与信号无关的常数。然而，怎样选择a0和b0，才能够保证重构信号的精度呢？显然，网格点应尽可能密（即a0和b0尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数?j,k(t)和离散小波系数Cj,k就越少，信号重构的精确度也就会越低。

三、几种常用的小波

3.1 Haar小波

A.Haar于1990年提出一种正交函数系,定义如下：

0?x?1/2?1??H??1 1/2?x?1 ?0其它?这是一种最简单的正交小波，即

?????(t)?(x?n)dx?0 n??1,?2,…

3.2 Daubechies（dbN）小波系

该小波是Daubechies从两尺度方程系数?hk?出发设计出来的离散正交小波。一般简写为dbN，N是小波的阶数。小波?和尺度函数吁中的支撑区为2N-1。?的消失矩为N。除N＝1外(Haar小波)，dbN不具对称性〔即非线性相位〕；dbN没有显式表达式(除N＝1外)。但?hk?的传递函数的模的平方有显式表达式。假设P(y)??CkN?1?kyk，其中，CkN?1?k为二项式的系数，则有

k?0??2 m0(?)?(cos2)NP(sin2)

222N?11其中 m0(?)?hke?ik? ?2k?0N?13.3 Biorthogonal（biorNr.Nd）小波系

Biorthogonal函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数

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进行重构。Biorthogonal函数系通常表示为biorNr.Nd的形式： Nr=1 Nd=1，3，5 Nr=2 Nd=2，4，6，8 Nr=3 Nd=1，3，5，7，9 Nr=4 Nd=4 Nr=5 Nd=5 Nr=6 Nd=8

其中，r表示重构，d表示分解。

3.4 Coiflet（coifN）小波系

coiflet函数也是由Daubechies构造的一个小波函数，它具有coifN（N=1，2，3，4，5）这一系列，coiflet具有比dbN更好的对称性。从支撑长度的角度看，coifN具有和db3N及sym3N相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN具有和db2N及sym2N相同的消失矩数目。

3.5 SymletsA（symN）小波系

Symlets函数系是由Daubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。Symlets函数系通常表示为symN（N=2，3，…，8）的形式。

3.6 Mexican Hat（mexh）小波

Mexican Hat函数为

?(x)?22?1/4?(1?x2)e?x/2 3它是Gauss函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足

??(x)dx?0

???由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。

3.7 Meyer函数

Meyer小波函数?和尺度函数?都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。

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