特殊与一般的思想

2010年高考数学考点预测：

特殊与一般的思想

由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，通过对个例认识与研究，形成对事物的认识，由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。对数学而言，这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想。在高考中，会设计一些构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程，由特殊到一般进行归纳法猜想和类比法猜想的试题。

1.取特殊数值

例1．（2008重庆卷,理6）若定义在R上的函数f?x?满足：对任意x1,x2?R有

f?x1?x2??f?x1??f?x2??1,则下列说法一定正确的是（ ）

(A) f?x?为奇函数（B）f?x?为偶函数(C) f?x??1为奇函数（D）f?x??1为偶函数 分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找f?x?与f??x?之间的关系，由于x???x??0所

以需要先求出f?0?的值，这时需要取特殊值x1?x2?0解答。 解：令x1?x2?0，得f?0???1，令x1?x,x2??x得f?x??f??x???2∴

f??x??1????f?x??1??，∴f?x??1为奇函数，故选C

答案：C

评注：在对于抽象函数来说，常常通过取特殊值研究函数的奇偶性。

例2.若0?a1?a2,0?b1?b2,且a1?a2?b1?b2?1，则下列代数式中值最大的是 A．a1b1?a2b2 B．a1a2?bb12 C．a1b2?a2b1 D．

1 2分析：本题比较大小，可以取特殊值，也可以作差比较，还可以用基本不等式或排序不等式。 解法一：特殊值法.取a1?,a2?,b1?,b2?解法二：a1a2?b1b2?(1434132，通过计算比较a1b1?a2b2最大。选A 3a1?a22b1?b221)?()? 222a1b1?a2b2?(a1b2?a2b1)?(a1?a2)b1?(a1?a2)b2?(a2?a1)(b2?b1)?0 a1b1?a2b2?(a1b2?a2b1)

1?(a1?a2)(b1?b2)?a1b1?a2b2?a1b1?a2b1?2(a1b2?a2b2)

a1b1?a2b2?1 2解法三：根据排序不等式知a1b1?a2b2 、a1a2?bb12 、a1b2?a2b1中，a1b1?a2b2最大，

再取特值a1?,a2?,b1?,b2?14341312比较a1b1?a2b2与

23答案： A.

评注：本题中有多种做法，其中取特殊值法最简单，最直接。

例3（2008福建德化一中，理）已知f(x)对一切实数x,y都有f(x?y)?f(x)?f(y)，

且当x＞0时，f(x)＜0

（1）证明f(x)为奇函数且是R上的减函数； （2）若关于x的不等式f[cos(x?立，求m的取值范围；

（3）如果f(1)??1，an??f(n)，记数列?an?和?2?????)]?f[sin2(x?)]?f(m)对一切x??0,?恒成66?2??1??的前n项和分别为Sn和Tn，求证a?n?n2Sn? (n?1)

Tn分析：本题中的函数为抽象函数，可通过取特殊值研究函数的单调性，再利用函数的单调性把不等式转化，得到关于m的不等式恒成立，有函数求的最值解答， （1）证明:依题意取x?y?0有f(0)?2f(0)

∴f(0)?0 又取y??x可得f(x?x)?f(x)?f(?x)?f(0)(x?R) ∴f(?x)??f(x)(x?R) 由x的任意性可知f(x)为奇函数 又设x1?x2,则x2?x1?(x2?x1),其中x2?x1?0 ∴f(x2)?f?x1?(x2?x1)??f(x1)?f(x2?x1)

∵f(x2?x1)?0 ∴f(x1)?f(x2) ∴f(x)在R上减函数 （2）解：∵函数f(x)是奇函数，∴由f[cos(x?得f[cos(x?∴f[cos(x?222?)]?f[sin2(x?)]?f(m) 66??)]?f[?sin2(x?)]?f(m)

66)?sin2(x?)]?f(m)即f[cos(2x?)]?f(m) 663????又∵f(x)是R上的减函数 ∴cos(2x?????)?m对于一切x??0,?恒成立 3?2?当x??0,????4?????cos(2x?)的最小值为?1， 时，，故此时2x??,???33?33??2?∴m??1

（3）∵an??f(n) ∴an?1??f(n?1)??f(n)?f(1)?an?1

又a1??f(1)?1，∴数列?an?是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴an?n也

就

是

11n2?， 要证明不等式Sn?，即是证明SnTn?n2 annTn证

明

(1?2??n)(1?1?21?)?n2n由柯西不等式得

(1?2?1?n)(1??211?)?(1?1?2??n21?n?)2?n2

n要使不等式取得等号，当且仅当?112?12?n，而这是不可能成立的。 1n∴当n?1时，(1?2?1?n)(1??21n22?2)?n，即Sn? nTn评注：研究抽象函数的单调性常用取特殊值法，本题较为综合的考查了抽象函数的单调性以

及利用函数的单调性解得不等式及函数的最值，还有把函数问题转化为数列，最终利用柯西不等式证出。

2．取特殊函数

例4．（2008陕西卷，理11.改编）定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy1(1?，则f(?3)等于（ ） （x，y?R），f)A．2

B．3

C．6

D．9

分析：由f(1)?2及f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy，可令x,y为特殊值，求出f?2?,f?3?， 再取特值研究函数的奇偶性；或直接取满足条件的特殊函数解答。

解法一：取f?x??x2，则满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy和f(1)?1，∴f(?3)?9，选D

解法二：f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy中，令x?1,y?1，得f?2??4，再令x?1,y?2得

f?3??9，再令x?1,y?0，得f?0??0，令y??x得，f?x??f??x??2x2，再令x??3，

得f(?3)?9，选D

评注:对于抽象函数来说,取特殊值和取特殊函数是常用的方法. 例5.（取特殊函数的三角题）

3．取特殊数列

例6.（2008四川卷，理7）已知等比数列?an?中a2?1，则其前3项的和S3的取值范围是( )

（Ａ）???,?1 （Ｂ）???,0? （Ｃ）?3,??? （Ｄ）???,?1???1,???

?3,???

分析：本题中的等比数列只知道a2?1，如果再知道公比，数列就可以确定，而选项是范围问题，可取定公比加以排除。

解法一：∵等比数列?an?中a2?1 ∴当公比为1时，a1?a2?a3?1，S3?3 ； 当公比为?1时，a1??1,a2?1,a3??1，S3??1 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）

故选D；

解法二：∵等比数列?an?中a2?1 ∴S3?a1?a2?a3?a2?1?q???1?1 ?1?q??q?q ∴当公比q?0时，S3?1?q?11?1?2q??3； qq?1?1??1?2?q???????1 q??q? 当公比q?0时，S3?1???q???∴S3????,?1??3,??? 故选D；

评注：取特殊数列入手淘汰，如果一次不能区分，则需多次取有区分度的值进行排除，直至

能辨别出正确答案为止，也可多种方法并存。要重视等比数列的通项公式，前n项和公式，以及均值不等式的应用，特别注重均值不等式使用的条件是否具备，不具备就要进行分类讨论。

4.取特殊位置

例7.（2008宁夏区银川一中）如图，边长为a的正?ABC中线AF与中位线DE相交于G，已知?A?ED是?AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题 有 （填上所有正确命题的序号）

（1）动点A?在平面ABC上的射影在线段AF上； （2）三棱锥A??FED的体积有最大值； （3）恒有平面A?GF?平面BCED； （4）异面直线A?E与BD不可能互相垂直；

分析:由于?A?ED是?AED绕DE旋转过程中的一个图形,可以转动到特殊位置,需要考虑特殊情况.

解: 不论怎样转动,DE?面A'FG,（1）（3）正确,（2）DEF不再

变化,当高最大时,三棱锥A??FED的体积有最大值,即当A'G?面ABC时, 三棱锥A??FED的体积有最大值也正确,（4）不正确,由三垂线定理知,当A'E在平面?ABC内的射影与CD平行时就一定垂直.