金版新学案2016-2017学年高一数学人教A版必修一练习：第1章 章末高效整合 doc

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－x＋2x， ?x>0???

(2)由(1)知f(x)＝?0， ?x＝0?

??x2＋2x， ?x<0?函数f(x)的图象如图所示．

(3)由图象可知f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，只需－1<|a|－2≤1，即1<|a|≤3，

解得－3≤a<－1或1

17．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；

(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

解析： (1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，代入(2,3)得a＝2， 所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.

1

(2)对称轴为x＝1，所以2a<1

2(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，

由题意得2x2－6x－2m＋2>0对于任意x∈[－1,1]恒成立，

所以x2－3x＋1>m对于任意x∈[－1,1]恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]， 则g(x)min＝－1，所以m<－1.

ax＋b1?2

18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f??2?＝5. x＋1(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)当x∈(－1,1)时判断函数f(x)的单调性，并证明； (3)解不等式f(2x－1)＋f(x)<0.

解析： (1)由题意可知f(－x)＝－f(x)， ∴

－ax＋bax＋b

， 2＝－1＋x1＋x2ax

∴b＝0，∴f(x)＝. 1＋x21?2又∵f??2?＝5，∴a＝1，

x

∴f(x)＝. 1＋x2(2)当x∈(－1,1)时，函数f(x)是单调递增的． 证明如下：设－1

2

x1＋x1x2x1x22－x2－x2x1则f(x1)－f(x2)＝－ 2＝1＋x2?1＋x2＋x211＋x21??12?

＝

?x1－x2??1－x1x2?

. 22?1＋x1??1＋x2?

∵－10.

2又1＋x1>0,1＋x22>0，

∴

?x1－x2??1－x1x2?

<0， 22?1＋x1??1＋x2?

即f(x1)－f(x2)<0，∴函数f(x)为增函数． (3)∵f(2x－1)＋f(x)<0， ∴f(2x－1)<－f(x)．

又f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f(2x－1)

∴?－1<－x<1，??2x－1<－x，

1

∴0

3

10，?. ∴不等式f(2x－1)＋f(x)<0的解集为??3?