【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20.已知点直线
在椭圆：
上，为坐标原点，直线：
的斜率与
的斜率乘积为
（1）求椭圆的方程； （2）不经过点的直线：为（与点不重合），直线【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得
，得到
，再结合
，
（
且
）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点
.
与轴分别交于两点，，求证：
（Ⅱ）见解析
，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线
，
的斜率互为相反数，列式，可证.
，
【详解】（Ⅰ）由题意，
即① 又
②
联立①①解得
所以，椭圆的方程为：.
（Ⅱ）设，，，由，
得所以又因为
，即，所以，，
解法一：要证明
，即证明
，
，
，
，
，可转化为证明直线
.
，
的斜率互为相反数，只需证明
∴
∴
解法二：要证明即直线
垂直平分与
即可. ，∴
.
，可转化为证明直线
，
与轴交点、连线中点的纵坐标为，
的方程分别为：
，
，
分别令，得，
而，同解法一，可得
，即
所以，
.
垂直平分.
【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.
21.已知函数（1）讨论（2）若
的单调性；
有两个零点，求实数的取值范围.
在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当
）递减；当a=，
，
在（0，
，
.
【答案】(1) 当a≤0，2）和在（0，【解析】 【分析】 （1）求出增区间，间为
上单调递增，在（2，在（0，+∞）递增；当a＞，
.
）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）递减；(2)
，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数，单调递减区间为
求得的范围，可得函数
时，
单调递增区，可证明
的减区间；（2）由（1）知当，又
，
，取
有两个零点等价于时与当
且
时，至多一个零点，
，得
综合讨论结果可得结论. 【详解】（1）
的定义域为
， ，
（i）当
时，时，
（ii）当①当②当
时，由，即，即恒成立，时，
时，时，在恒成立，
时，
恒成立， 在在得，
，可证明，当
上单调递增；
上单调递减.
（舍去），
恒成立，或
在，
上单调递增； 在
上单调递减.
上单调递增；
③当
在
，即时，单调递增，
或时，恒成立，
时，
综上，当当当
时，时，
时，
恒成立，在上单调递减. ，单调递减区间为，无单调递减区间为；
，单调递减区间为
.
，
；
单调递增区间为
单调递增区间为单调递增区间为
时，
（2）由（1）知当又则
，取在
单调递增区间为
，令
，单调递减区间为
，
单调递增，
成立，故
，
，
有两个零点等价于
，
当当当
时，时，且
时，
，只有一个零点，不符合题意；
单调递增，至多只有一个零点，不符合题意； 有两个极值，
，
记
，
，
，得
，
令，则，
当当故
时，
时，
在
在在
单调递增； 单调递减，
单调递增，
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