新高中数学《平面向量》专题解析
一、选择题
uuuruuur1．已知VABC是边长为1的等边三角形，若对任意实数k，不等式|kAB?tBC|?1恒
成立，则实数t的取值范围是（ ）. A．????,????3??3?,?? ??????3??3?B．????,????23??23?,?? ??????3??3??23?C．??3,????
??【答案】B 【解析】 【分析】
?3?,??D．???3? ??根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k的二次不等式恒成立的问题，由n?0，即可求得结果. 【详解】
uuuruuur1因为VABC是边长为1的等边三角形，所以AB?BC?cos120???，
2uuuruuuruuur2uuuruuur2uuur22由|kAB?tBC|?1两边平方得k(AB)?2ktAB?BC?t(BC)?1，
即k2?kt?t2?1?0，构造函数f(k)?k?tk?t?1， 由题意，??t?4t?1?0， 解得t??故选：B. 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.
222?2?2323. 或t?33
uuuruuuruuuruuuruuurruuuruuur2．在?ABC中，OA?OB?OC?0，AE?2EB，AB??AC，若uuuruuuruuuruuurAB?AC?9AO?EC，则实数??( )
A．
3 3B．
3 2C．
6 3D．
6 2【答案】D 【解析】 【分析】
将AO、EC用AB、AC表示，再代入AB?AC?9AO?EC中计算即可. 【详解】
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur由OA?OB?OC?0，知O为?ABC的重心，
uuuruuuruuurruuur21uuuruuur1uuuruuuruuuruuur所以AO??(AB?AC)?(AB?AC)，又AE?2EB，
323r2uuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuu所以EC?AC?AE?AC?AB，9AO?EC?3(AB?AC)?(AC?AB)
33uuuruuuruuuruuur2uuur2uuuruuuruuur2uuur2|AB|36uuur????. ，所以，?AB?AC?2AB?3AC?AB?AC2AB?3AC22|AC|故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
uuuruuuruuuruuurABACrr?uuu)，??[0，??)，3．已知O是平面上一定点，满足OP?OA??(uuu|AB|cosB|AC|cosC则P的轨迹一定通过?ABC的（ ） A．外心 【答案】B 【解析】 【分析】
B．垂心
C．重心
D．内心
uuurABr可先根据数量积为零得出BC与?(uuu上，从而得到结论．
uuurACr?uuu)垂直，可得点P在BC的高线
|AB|cosB|AC|cosCuuuruuuruuuruuuruuurABACrr?uuu)， QOP?OA??(uuu|AB|cosB|AC|cosCuuuruuuruuuruuurABACrr?uuu)， ?OP?OA??(uuu|AB|cosB|AC|cosCuuuruuuruuurABACrr?uuu)， 即AP??(uuu|AB|cosB|AC|cosC【详解】
uuuruuurBA?BCcosB?uuuruuur，cosC?QBABCuuuruuurCA?CBuuuruuur， CACBuuuruuuruuuruuuruuurABACrr?uuu)??BC?BC?0， ?BC?(uuu|AB|cosB|AC|cosCuuuruuuruuurABACrr?uuu)垂直， ∴BC与?(uuu|AB|cosB|AC|cosCuuuruuur即AP?BC，
?点P在BC的高线上，即P的轨迹过?ABC的垂心.
故选：B．
【点睛】
本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.
4．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A?0,2?，OB?OA?20，若平
22uuuruuur面内点P满足PB?3PA，则PO的最大值为（ ）
A．7 【答案】C 【解析】 【分析】
B．6 C．5 D．4
?m??2xuuuruuur设P?x,y?，B?m,n?，根据PB?3PA可得?点P的轨迹，它一个圆，从而可求PO的最大值. 【详解】
?n?6?2y，再根据OB?OA?20可得
22uuuruuur设P?x,y?，B?m,n?，故PB??m?x,n?y?，PA???x,2?y?. ?m?x??3x?m??2xuuuruuur由PB?3PA可得?，故??n?y?6?3y222?n?6?2y，
因为OB?OA?20，故4x2?4?3?y??4?20，
整理得到x2??y?3??4，故点P的轨迹为圆，其圆心为?0,3?，半径为2，
2故PO的最大值为3?2?5， 故选：C. 【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
（ ） A．
5．已知a,b是平面向量，满足|a|?4，|b|?1且|3b?a|?2，则cos?a,b?的最小值是
rrrrrrrr11 16B．
7 8C．15 8D．315 16【答案】B 【解析】 【分析】
uuurruuurr设OA?a，OB?3b，利用几何意义知B既在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案.
【详解】
uuurruuurr设OA?a，OB?3b，由题意，知B在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，
rr由|3b?a|?2，知B在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示
rrrr则B只能在阴影部分区域，要cos?a,b?最小，则?a,b?应最大，
rr此时cos?a,b???minOA2?OB2?AB242?32?227?cos?BOA???.
2OA?OB2?4?38
故选：B. 【点睛】
本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.
uuuruuur16．如图,在梯形ABCD中, DC?2AB, P为线段CD上一点,且DP?PC，E为BC的
2uuuruuuruuur, 中点若EP??AB??AD（?， ??R）,则???的值为（ ）
A．
1 3B．?
13C．0 D．
1 2【答案】B 【解析】 【分析】
uuuv1uuuv5uuuv直接利用向量的线性运算，化简求得EP?AD?AB，求得?,?的值，即可得到答案.
26【详解】
由题意，根据向量的运算法则，可得：
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