2006年中考数学试题汇编及解析探索型问题 - 3

2006年中考数学试题汇编及解析 探索型问题

探索型问题这类问题往往涉及面很广，主要是探索题设结论是否存在，或是否成立，或是让学生自己先猜想结论，再进行研究从而得出正确的结论等等，这些题通常有一定的难度，几乎在全国各地的中考数学试卷中都能见到。

1、（2006浙江舟山）如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），?以OA?为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC>1），连结BC，?以BC?为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．

（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论．

（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化，若没有变化，求出点E?的坐标；若有变化，请说明理由．

（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m．

[解析] （1）两个三角形全等

∵△AOB、△CBD都是等边三角形 ∴OBA=∠CBD=60°

∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC 即∠OBC=∠ABD ∵OB=AB，BC=BD △OBC≌△ABD

（2）点E位置不变 ∵△OBC≌△ABD ∴∠BAD=∠BOC=60°

∠OAE=180°-60°-60°=60° 在Rt△EOA中，EO=OA2tan60°=3 或∠AEO=30°，得AE=2，∴OE=3 ∴点E的坐标为（0，3）

（3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知12m=n2AG，即AG= 又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE=EG2EF 在Rt△EOA中，AE=3?1=2 （3）=（2-22

2

m nm）（2+n） n 即2n+n-2m-mn=0

2n2?n 解得m=.

n?22、（2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D. (1)求直线AB的解析式; (2)若S梯形OBCD＝

43,求点C的坐标; 3的

(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;若不存在,请说明理由. [解析] （1）直线AB解析式为：y=?3x+3． 333x+3），那么OD＝x，CD＝?x+3． 3332x?3． 6（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，?∴S梯形OBCD＝

?OB?CD??CD＝?2由题意：?3243x?3 ＝，解得x1?2,x2?4（舍去） 633） 3133433OA?OB?,S梯形OBCD＝，∴S?ACD?． 2236∴ Ｃ（２，

方法二：∵ S?AOB?

由OA=3OB，得∠BAO＝30°，AD=3CD．

∴ S?ACD＝

1333CD3AD＝．可得CD＝． CD2＝2263∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图

3）． 3 ①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，

∴P1（3，

3）． 33OB=1． 3 ②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=

∴P2（1，3）．

当∠OPB＝Rt∠时

③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30° 过点P作PM⊥OA于点M． 方法一： 在Rt△PBO中，BP＝

133OB＝，OP＝3BP＝． 222∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°， ∴ OM＝

1333333OP＝；PM＝3OM＝．∴P3（，）． 24444方法二：设Ｐ（x ，?33x+3），得OM＝x ，PM＝?x+3 33由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．

∵tan∠POM==

PM=OM?3x?3OA3 ，tan∠ABOC==3．

xOB∴?33333x+3＝3x，解得x＝．此时，P3（，）．

4434④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°． ∴ PM＝

33OM＝． 34∴ P4（

33，）（由对称性也可得到点P4的坐标）． 44当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.

综合得，符合条件的点有四个，分别是：

P1（3，

333333），P2（1，3），P3（，），P4（，）．

44344

3、（2006湖南常德）如图，在直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，以23为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．

12x?bx?c经过C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上． 3（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小．

（1）若抛物线y?（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

[解析] （1）∵OA?3，AB?AC?23 ∴B(?3，0)，C(33，0)

又在Rt△AOD中，AD?23，OA?3 ∴OD?AD2?OA2?3

?3) ∴D的坐标为(0， 又D，C两点在抛物线上，

2?c??3?3??b?? ∴?1解得 3?2?(33)?33b?c?0???3?c??3 ∴抛物线的解析式为：y? 当x??3时，y?0 ∴点B(?3，0)在抛物线上

1223x?x?3 33 （2）∵y? ?1223x?x?3 331(x?3)2?4 3 ∴抛物线y?1223x?x?3的对称轴方程为x?3 33 在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBD的周长最小．

∵BD的长为定值 ∴要使△PBD周长最小只需PB?PD最小． 连结DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点． 设直线DC的解析式为y?mx?n．

?3n??3???m? 由?得?3

33m?n?0???n??3? ∴直线DC的解析式为y?3x?3 3