∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAD＝∠DAE＝45°， 在△ADF和△ADE中，，
∴△ADF≌△ADE（SAS）， ∴DF＝DE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝45°， ∴∠C＝∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝∠ABF+∠ABC＝90°， ∴△BDF是直角三角形， ∴BD2+BF2＝DF2， ∴BD2+EC2＝DE2．
37
14．（1）解：∵在△ABC中，∠C＝90°中，BC＝4，AB＝5， ∴AC＝＝
＝3，
故答案为：3；
（2）证明：在Rt△DOA中，∠DOA＝90°， ∴OD2+OA2＝AD2，
同理：OD2+OC2＝CD2，OB2+OC2＝BC2，OA2+OB2＝AB2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2＝OD2+OA2+OB2+OC2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2 ；
（3）解：连接CG、AE，设AG交CE于I，AB交CE于J，如图3所示： ∵四边形BCFG和四边形ABED都是正方形， ∴∠GBC＝∠EBA＝90°，AB＝BE＝5，BG＝BC＝4， ∴∠GBC+∠CBA＝∠EBA+∠CBA， ∴∠ABG＝∠EBC， 在△ABG和△EBC中，，
∴△ABG≌△EBC（SAS）， ∴∠BAG＝∠BEC， ∵∠AJI＝∠EJB， ∴∠EBJ＝∠AIJ＝90°，
38
∴AG⊥CE，
由（2）可得：AC2+GE2＝CG2+AE2， 在Rt△CBG中，CG2＝BC2+BG2， 即CG2＝42+42＝32，
在Rt△ABE中，AE2＝BE2+AB2， 即AE2＝52+52＝50，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2， 即52＝AC2+42， ∴AC2＝9，
∵AC2+GE2＝CG2+AE2 ，
即
9+GE2＝32+50，
∴GE2＝73．
15．【操作】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝3， ∴BD＝
＝
＝5，
由旋转的性质得：BE＝BA＝4， ∴DE＝BD﹣BE＝5﹣4＝1； 故答案为：1；
39
【探究】（1）证明：由旋转的性质得：△BEF≌△BAD， ∴∠BEF＝∠A＝90°，BE＝BA， ∴∠BED＝180°﹣∠BEF＝90°＝∠A， 在Rt△ADB和Rt△EDB中，∴Rt△ADB≌Rt△EDB（HL）； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°， ∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠的性质得：∠ABD＝∠EBD， ∴∠CDB＝∠EBD， ∴DG＝BG，
设CG＝x，则DG＝BG＝4﹣x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：x2+32＝（4﹣x）2， 解得：x＝，即CG＝； 故答案为：；
【拓展】解：∵△CEF的边长EF＝AD＝3，
∴点C到EF的距离最小时，△CEF的面积最小；点C到EF的距离最大时，△CEF的面积最大；
当点E在BC的延长线上时，点C到EF的距离最小，如图③所示： 此时CE⊥EF，CE＝BE﹣BC＝4﹣3＝1， △CEF的面积S最小＝EF×CE＝×3×1＝；
当点E在CB的延长线上时，点C到EF的距离最大，如图④所示：
，
40
相关推荐：
loading