2020年九年级下学期数学中考三轮压轴专题培优练习：《四边形》

（2）如图3，以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．

理由如下：

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDA＝∠DBA＝45°， ∴∠MDA＝∠NBA＝135°． ∵∠1+∠2＝45°，∠2+∠3＝45°， ∴∠1＝∠3．

在△ANB与△MAD中，

，

∴△ANB∽△MAD， ∴

，

∴AB2＝BN?MD， ∵AB＝

DB，

DB）2＝BD2，

∴BN?MD＝（

∴BD2＝2BN?MD，

∴MD2+2MD?BD+BD2+BD2+2BD?BN+BN2＝MD2+BD2+BN2+2MD?BD+2BD?

BN+2BN?MD，

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∴（MD+BD）2+（BD+BN）2＝（DM+BD+BN）2， 即MB2+DN2＝MN2，

∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形． 8．（1）解：四边形ABCD是垂直四边形；理由如下： ∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂直四边形； （2）证明：设AC、BD交于点E，如图2所示： ∵AC⊥BD，

∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，

由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2；

（3）解：连接CG、BE，如图3所示： ∵正方形ACFG和正方形ABDE， ∴AG＝AC，AB＝AE，CG＝

AC＝4，BE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC，

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，

又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，

∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2， ∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝

＝

＝5，BE＝AB＝5，

∴GE2＝CG2+BE2﹣BC2＝（4）2+（5

）2﹣32＝73，

∴GE＝

．

9．证明：（1）∵∠DCB＝∠FGB＝∠FGC＝90°， ∴CD∥GF，

∴∠EDP＝∠GFP，且DP＝PF，∠DPE＝∠FPG， ∴△DPE≌△FPG（ASA） ∴PE＝PG，DE＝GF， ∵BC＝CD，

∴EC＝GC，且∠DCG＝90°，PE＝PG， ∴CP＝PG；

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（2）延长GP到E，使PE＝PG，连接DE，CE，CG，

∵DP＝PF，∠DPE＝∠FPG，PE＝PG， ∴△DPE≌△FPG（SAS）

∴PE＝PG，DE＝GF，∠EDP＝∠GFP， ∵GF＝GB， ∴DE＝BG， ∵DC∥BF， ∴∠CDP＝∠BFP，

∴∠CDE＝∠BFG＝∠CBG＝45°， ∵DC＝BC，∠CDE＝∠CBG，DE＝BG， ∴△CDE≌△CBG（SAS） ∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，

∴∠ECG＝90°，且CE＝CG，PE＝OG， ∴PC＝PG

（3）PG＝

PC．

理由如下：如图3，

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