平面向量的概念及线性运算知识点一：向量的概念
1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2．向量的表示方法: (1)字母表示法:如
等.
等.
(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如
(3)向量的有关概念
向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).
规定:与任一向量共线.
要点诠释：
1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在
同一直线上的线段的位置关系.
知识点二：向量的加(减)法运算
1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则 2．运算律：①交换律：
；②结合律：
要点诠释：
1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与 终点. 2．
.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.
与向量的积是一个向量，记作：
知识点三：数乘向量
1．实数与向量的积：实数 (1) (2)①当 ②当
； 时，时.
的方向与的方向相同； 的方向与的方向相反；
③当 2．运算律 设
时，.
为实数
；
，
结合律： 分配律：
3．共线向量基本定理
非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数 要点诠释：
，使.
是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关
系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
类型一：向量的基本概念
(1)若
1．判断下列各命题是否正确：
，则
；
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则要条件； (3)若 (4)两向量
，则
且
.
是四边形为平行四边形的充
相等的充要条件是
思路点拨：相等向量即为长度相等且方向相同的向量. 解析：
(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由
. (2)正确，四边形
是
且
与
方向相同.因此
.
且
.又A、B、C、D是不共线的四点，
推不出
平行四边形，则 (3)正确，
的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向
相同，的
.
长度相等且方向相同.故
(4)不正确，当
的充要
但方向相反时，即使，也不能得到，故不是
条件. 总结升华：我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的.复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来.
举一反三：
【变式1】下列说法正确的个数是( ) ①向量
，则直线
直线
②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等； ③向量
既是有向线段
；
.
④在平行四边形中，一定有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C
类型二：向量的线性运算
表示
2．如图所示，
的两条对角线相交于点
，且
用
思路点拨：利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是 解析：在
中
，由它可以“生”成
.
总结升华：用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
举一反三： 【变式1】如图，△
与
相交于点
，求
中，点
是的值.
则
的中点，点
在边
上，且
，
【答案】解：(如图)设
∴存在 使
故和
分别共线，
，而
∴由基本定理得 即
类型三：共线向量与三点共线问题
3．设两非零向量
和
求证
三点共线.
不共线，
(1)如果
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