板块的临界问题
【例1】木板M静止在光滑水平面上，木板上放着一个小滑块m，与木板之间的动摩擦因数μ，为了使得m能从M上滑落下来，求下列各种情况下力F的大小范围。 解析（1）m与M刚要发生相对滑动的临界条件：①要滑动：m与M间的静摩擦力达到最大静F m摩擦力；②未滑动：此时m与M加速度仍相同。受力分析如图，先 m F 隔离m，由牛顿第二定律可得：a=μmg/m=μg M M 再对整体，由牛顿第二定律可得：F0=(M+m)a 解得：F0=μ(M+m) g
所以，F的大小范围为：F>μ(M+m)g
（2）受力分析如图，先隔离M，由牛顿第二定律可得：a=μmg/M 再对整体，由牛顿第二定律可得：F0=(M+m)a 解得：F0=μ(M+m) mg/M
所以，F的大小范围为：F>μ(M+m)mg/M 板块的动力学问题
【例2】如图所示，有一块木板静止在光滑水平面上，木板质量M=4kg，长L=1.4m.木板右端放着一个小滑块，小滑块质量m=1kg，其尺寸远小于L，它与木板之间的动摩擦因数μ=0.4，g=10m/s2，
（1）现用水平向右的恒力F作用在木板M上，为了使得m能从M上滑落下来，求F的大小范围. （2）若其它条件不变，恒力F=22.8N，且始终作用在M上，求m在M上滑动的时间. [解析]（1）小滑块与木板间的滑动摩擦力
m F f=μFN=μmg=4N…………①
M 滑动摩擦力f是使滑块产生加速度的最大合外力，其最大加速度
a1=f/m=μg=4m/s2 …②
当木板的加速度a2> a1时，滑块将相对于木板向左滑动，直至脱离木板 m F F-f=m a2>m a1 F> f +m a1=20N …………③ M 即当F>20N，且保持作用一般时间后，小滑块将从木板上滑落下来。
（2）当恒力F=22.8N时，木板的加速度a2＇，由牛顿第二定律得F-f=Ｍa2＇
F 解得：a2＇＝4.7m/s2………④
设二者相对滑动时间为t，在分离之前 x1 L 小滑块：x1=? a1t2 …………⑤
x2 木板：x1=? a2＇t2 …………⑥
又有x2－x1=L …………⑦ 解得：t=2s …………⑧
【例3】质量m=1kg的滑块放在质量为M=1kg的长木板左端，木板放在光滑的水平面上，滑块与木板之间的动摩擦因数为0.1，木板长L=75cm，开始时两者都处于静止状态，如图所示，试求：
（1）用水平力F0拉小滑块，使小滑块与木板以相同的速度一起滑动，力F0的最大值应为多少？ （2）用水平恒力F拉小滑块向木板的右端运动，在t=0.5s内使滑块从木板右端滑出，力F应为多大？
（3）按第（2）问的力F的作用，在小滑块刚刚从长木板右端滑出时，滑块和木板滑行的距离各为多少？（设m与M之间的最大静摩擦力与它们之间的滑动摩擦力大小相等）。（取g=10m/s2）. 解析：（1）对木板M，水平方向受静摩擦力f向右，当f=fm=μmg时，M有最大加速度，此时对应的F0即为使m与M一起以共同速度滑动的最大值。 对M，最大加速度aM，由牛顿第二定律得：aM= fm/M=μmg/M =1m/s2
要使滑块与木板共同运动，m的最大加速度am=aM， 对滑块有F0－μmg=mam
所以 F0=μmg+mam=2N 即力F0不能超过2N
f
f
1
（2）将滑块从木板上拉出时，木板受滑动摩擦力f=μmg，此时木板的加速度a2为 a2=f/M=μmg/M =1m/s2. 由匀变速直线运动的规律，有（m与M均为匀加速直线运动）木板位移 x2= ?a2t2 ① 滑块位移 x1= ?a1t2 ②
F 位移关系 x1－x2=L ③
将①、②、③式联立，解出a1=7m/s2
L 对滑块，由牛顿第二定律得:F－μmg=ma1 所以 F=μmg+ma1=8N x2 （3）将滑块从木板上拉出的过程中，滑块和木板的位移分别为 x1 x1= ?a1t2= 7/8m x2= ?a2t2= 1/8m
2．长为1.5m的长木板B静止放在水平冰面上，小物块A以某一初速度从木板B的左端滑上长木板B，直到A、B的速度达到相同，此时A、B的速度为0.4m/s，然后A、B又一起在水平冰面上滑行了8.0cm后停下．若小物块A可视为质点，它与长木板B的质量相同，A、B间的动摩擦因数μ1=0.25．求：（取g=10m/s2） （1）木块与冰面的动摩擦因数． v （2）小物块相对于长木板滑行的距离． A B （3）为了保证小物块不从木板的右端滑落，小物块滑上长木板的初速度应为多大？ 解析：（1）A、B一起运动时，受冰面对它的滑动摩擦力，做匀减速运动，加速度
v2a??2g??1.0m/s2 解得木板与冰面的动摩擦因数μ2=0.10
2s（2）小物块A在长木板上受木板对它的滑动摩擦力，做匀减速运动，加速度 a1=μ1g=2.5m/s2
小物块A在木板上滑动，木块B受小物块A的滑动摩擦力和冰面的滑动摩擦力，做匀加速运动，有μ1mg－μ2(2m)g=ma2 解得加速度a2=0.50m/s2
设小物块滑上木板时的初速度为v10，经时间t后A、B的速度相同为v
由长木板的运动得v=a2t，解得滑行时间t?v?0.8s a2小物块滑上木板的初速度 v10=v＋a1t=2.4m/s
小物块A在长木板B上滑动的距离为?s?s1?s2?v01t?a1t2?a2t2?0.96m
（3）小物块A滑上长木板的初速度越大，它在长木板B上相对木板滑动的距离越大，当滑动距离等于木板长时，物块A达到木板B的最右端，两者的速度相等（设为v′)，这种情况下A的初速度为保证不从木板上滑落的最大初速度，设为v0．
1212??a有v0t?a1t2?a2t2?L v0?v1t1212??v a2t由以上三式解得，为了保证小物块不从木板的右端滑落，小物块滑上长木板的初速度不大于最大初速度
v0?2(a1?a2)L?3.0m/s
7.如图3-2-19 所示，小车质量M为2.0 kg,与水平地面阻力忽略不计，物体质量m=0.5 kg，物体与小车间的动摩擦因
数为0.3.(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
(1)小车在外力作用下以1.2 m/s2的加速度向右运动时，物体受摩擦力多大？ （2）欲使小车产生3.5 m/s2的加速度，需给小车提供多大的水平推力？ （3）若要使物体m脱离小车，问至少应向小车提供多大的水平推力？
（4）若小车长l=1 m，静止小车在8.5 N水平推力作用下，物体由车的右端向左滑动，滑离小车需多长时间？(物体可视为质点)
7解析：物体能与小车保持相对静止时小车的最大加速度a0=μg=3 m/s2.
（1）由于a1=1.2 m/s2＜a0，物体相对小车静止，物体受静摩擦力Ff1=ma1=0.50×1.2 N=0.6 N. (2)由于小车的加速度a2=3.5 m/s2＞a0，故物体与小车相对滑动.以小车为研究对象受力分析，
2
如图(a)所示，其中FN、Ff2是物体对小车的压力和滑动摩擦力.则FN=mg
Ff2=μFN=μmg F-Ff2=Ma2
所以F=Ma2+Ff2=(2.0×3.5+1.5) N=8.5 N.
(3)要使m脱离小车，则必须a车＞a物，即a车＞a0，而a车=
F?Ff2M,所以
F?Ff2M＞μg
解得F＞μ(M+m)g=7.5 N.
(4)由于F=8.5 N,水平推力大于7.5 N，所以物体会滑落，如图(a)所示. 小车的加速度 a2′=
F?Ff2MFf28.5?1.522
m/s=3.5 m/s 物体的加速度a1′==μg=3 m/s2 ?2.0m11由图(b)知滑落时小车的位移为:s2=a2't2, 物体位移为s1=a1't2
222l2?11?s=2 s. 而s2-s1=l,即(a2′-a1′)t2=l 故t=
3.5?3a2'?a1'28. 如图7，质量M?8kg的小车停放在光滑水平面上，在小车右端施加一水平恒力F=8N。当小车向右运动速度达到3m/s时，在小车的右端轻放一质量m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数??0.2，假定小车足够长，问： （1）经过多长时间物块停止与小车间的相对运动？
（2）小物块从放在车上开始经过t0?30.s所通过的位移是多少？（g取10m/s2）
8 解析：（1）
物块放上小车后做初速度为零加速度为a1的匀加速直线运动，小车做加速度为a2匀加速运动。 由牛顿运动定律：
.m/s2 物块放上小车后加速度：a1??g?2m/s2 小车加速度：a2??F??mg?/M?05
v1?a1tv2?3?a2t 由v1?v2得：t?2s
（2）物块在前2s内做加速度为a1的匀加速运动，后1s同小车一起做加速度为a2的匀加速运动。 以系统为研究对象：
根据牛顿运动定律，由F??M?m?a3得：
3
s1??1/2?a1t2?4m2?4.4m .m/s2 物块位移s?s1?s2 s2?v1t??1/2?at2 a3?F/?M?m??08s?s1?s2?8.4m9如图所示,有一块木板静止在光滑足够长的水平面上,木板的质量为M=4 kg,长度为L=1 m;木板的右端停放着一个小滑块,小滑块的质量为m=1 kg,其尺寸远远小于木板长度,它与木板间的动摩擦因数为μ=0.4,已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力.求: (1)为使木板能从滑块下抽出来,作用在木板右端的水平恒力F的大小应满足的条件. (2)若其他条件不变,在F=28 N的水平恒力持续作用下,需多长时间能将木板从滑块下抽出. 答案 (1)F >20 N (2)1 s
如图所示，质量为M=1kg的木板B静止在水平面上，一质量为m=1kg的滑块A以v0=10m/s的水平初速度从左端滑上木板B，最终停止在木板B上，滑块A与木板B间的动摩擦因数?1?0.4，木板B与水平面间的动摩擦因数
?2?0.15，g=10m/s2,求：
v
A B 木板B至少有多长
滑块A相对木板B滑行过程中系统消耗的机械能
木板B在水平面上滑行的距离
解：设木块A滑到B上做匀减速直线运动的加速度大小为a1,木板B做匀加速运动的加速度为a2,AB刚达到共同速度经历的时间为t，共同速度为v有 A1=
a1??1g?4m/s2,
a2??1mg?2?2mgm?1m/s2,由速度关系，
v?v0?a1t，
v?a2t,L?(2)由E?v0?vvvt?t?0t，解得L=10m 22212mv0?mv2?46J 21v22(3)设A,B相对静止后在水平面上滑行的加速度大小为a3,有a3=1.5m/s2,SB?a2t?,解得SB=10/3
22a31．(2010淮阴中学卷)如图，在光滑水平面上，放着两块长度相同，质量分别为M1和M2的木板，在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块。开始时，各物均静止，今在两物体上各作用一水平恒力F1、F2，当物块和木板分离时，两木板的速度分别为v1和v2，物体和木板间的动摩擦因数相同，下列说法正确的是 ( BD ) A．若F1＝F2，M1＞M2，则v1＞v2 B．若F1＝F2，M1＜M2，则v1＞v2 C．若F1＞F2，M1＝M2，则v1＞v2 D．若F1＜F2，M1＝M2，则v1＞v2
2．如图所示，长2m，质量为1kg的木板静止在光滑水平面上，一木块质量也为1kg（可视为质点），与木板之
间的动摩擦因数为0.2。要使木块在木板上从左端滑向右端而不至滑落，则木块初速度的最大值为（ D ）
A．1m/s B．2 m/s C．3 m/s D．4 m/s
4
F2 F1
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