2019人教A版数学必修四习题：第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用 分层训练 docx

①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;

②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人; ③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系.

(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?

【解析】(1)设该函数为f()=Asin(ω+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f()在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.

根据上述分析可得,=12,

故ω=,且解得

根据分析可知,当=2时,f()最小, 当=8时,f()最大,

故sin=-1,且sin=1.

又因为0<|φ|<π,故φ=-.

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f()=200sin+300.

(2)由条件可知,200sin+300≥400,

- 9 -

化简,得sin∈.

≥?2π+≤-≤2π+,∈,解得12+6≤≤12+10,

因为∈N*,且1≤≤12,故=6,7,8,9,10.

即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.

- 10 -