2020-2021中考数学反比例函数综合题及答案

2020-2021中考数学反比例函数综合题及答案

一、反比例函数

1．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）

（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．

【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ， ∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；

（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；

（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上， ∴OE= OA= ，点D（ ，2）， ∴点B（3，4），

又∵点F在正比例函数y= x图象上， ∴F（ ， ）， ∴DF= 、BC=3、EA= ，

∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．

【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.

2．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．

（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．

（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．

（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移

个单位长度得到

Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．

【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2， 当y=0时，﹣3x+2=0， x= ，

∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），

∴0＜m＜ ，，DANG

则

﹣3x+2= ，

，

当x=m时，﹣3m+2= ， ∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜ ）

（2）解：由题意得： ax+2= ， ax2+2x﹣k=0，

，

∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时， ∴△=4+4ak=0， ak=﹣1， ∴k=﹣ ，

则

，

解得： ∵OM= ，

，

∴12+（﹣ ）2=（ ）2 ， a=±

（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2）， ∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移 ∴A′（2，1），B′（1，3）， 点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点， 当点M′与A′重合时，k=2，

个单位得到Rt△A′O′B′，

当点M′与B′重合时，k=3， ∴k的取值范围是2≤k≤3

【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜ ）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。

3．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．

（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；

（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；

（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围； （4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值． 【答案】 （1）解：y=2x+1中k=2＞0， ∴y随x的增大而增大，

∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9． ∵y= 中k=2＞0，

∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小， ∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．

∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1， ∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19

（2）解：令y= ≤2， 解得：x＜0或x≥1．

∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1

（3）解：①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值 ，同理当a＜0

时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值 ，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值 ，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0

（4）解：①当m＜2时，有2（2﹣m）2+m﹣2=1， 解得：m1=1，m2= （舍去）；②当2≤m≤4时，有m﹣2=1， 解得：m3=3；③当m＞4时，有2（4﹣m）2+m﹣2=1， 整理得：2m2﹣15m+29=0．

∵△=（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解．

∴m的值为1或3． ①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值 ，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值 ，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；

【解析】【分析】（1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，

y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）令y= ≤2，解之即可得出x的取值范围；（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到y= 无最大值，有最小值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤ 有最大值 ，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值 ，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值 ，无最大值，于是得到结论；（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．

4．如图，已知函数 的面积为2.

的图象与一次函数

的图象相

交不同的点A、B，过点A作AD⊥ 轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为 ，△AOD

（1）求 的值及 =4时 的值； （2）记

表示为不超过 的最大整数，例如：

，求

值

，

，设

,若

【答案】（1）解：设A（x0 ， y0），则OD=x0 ， AD=y0 ， ∴S△AOD= OD?AD= x0y0=2， ∴k=x0y0=4； 当x0=4时，y0=1， ∴A（4，1），

代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1

（2）解：∵

，

∴ ＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0， ∵A的横坐标为x0 ， ∴mx02+5x0=4， 当y=0时，mx+5=0， x=- ，

∵OC=- ，OD=x0 ， ∴m2?t=m2?（OD?DC）， =m2?x0（- -x0）， =m（-5x0-mx02）， =-4m， ∵- ＜m＜- ， ∴5＜-4m＜6， ∴[m2?t]=5

【解析】【分析】(1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值；

（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0，将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由m2?t=m2?（OD?DC）=-4m，根据m的取值范围得出5＜-4m＜6，从而答案。

5．如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；

（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标． 【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ， 把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6， ∴反比例函数解析式为y= ； 把A（3，m）代入y= ，可得3m=6， 即m=2， ∴A（3，2），

设直线AB 的解析式为y=ax+b，

把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得 解得

，

，

∴直线AB 的解析式为y=x﹣1

（2）解：由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方 （3）解：存在点C．

如图所示，延长AO交双曲线于点C1 ，

∵点A与点C1关于原点对称， ∴AO=C1O，

∴△OBC1的面积等于△OAB的面积， 此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；

如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2 ， 则△OBC2的面积等于△OBC1的面积， ∴△OBC2的面积等于△OAB的面积， 由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y= x，

可设直线C1C2的解析式为y= x+b'，

把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'， 解得b'= ，

∴直线C1C2的解析式为y= x+ ，

解方程组

，可得C2（

）；

如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3 ， 则△OBC3的面积等于△OBA的面积， 设直线AC3的解析式为y= x+

， ，

把A（3，2）代入，可得2= ×3+ 解得

=﹣ ，

∴直线AC3的解析式为y= x﹣ ，

解方程组

，可得C3（

）； （）

）．

综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（

【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式

（2）结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B，X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标

（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。

6．如图，一次函数

的图象与反比例函数

的图象交于第一象限C，D两

点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）.

（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积.

（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）解：将C(1，4)代入反比例函数解析式可得：k=4，则反比例函数解析式为：

，

将D(4，m)代入反比例函数解析式可得：m=1

（2）解：根据点C和点D的坐标得出一次函数的解析式为：y=－x+5 则点A的坐标为(0，5)，点B的坐标为(5，0) ∴S△DOC=5×5÷2－5×1÷2－5×1÷2=7.5

（3）解：双曲线上存在点P(2,2),使得S△POC=S△POD，理由如下： ∵C点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1)， ∴OD=OC=

，

∴当点P在∠COD的平分线上时，∠COP=∠POD，又OP=OP， ∴△POC≌△POD， ∴S△POC=S△POD.

∵C点坐标为：(1,4),D点坐标为：(4,1)， 可得∠COB=∠DOA，

又∵这个点是∠COD的平分线与双曲线的y=交点， ∴∠BOP=∠POA， ∴P点横纵坐标坐标相等， 即xy=4，x2=4， ∴x=±2， ∵x>0， ∴x=2，y=2，

故P点坐标为(2,2)，使得△POC和△POD的面积相等

利用点CD关于直线y=x对称,P(2,2)或P(?2,?2). 答：存在，P(2，2)或P(-2，-2)

【解析】【分析】（1）观察图像，根据点C的坐标可求出函数解析式及m的值。 （2）利用待定系数法，由点D、C的坐标求出直线CD的函数解析式，再求出直线CD与两坐标轴的交点A、B的坐标，然后利用S△DOC=S△AOB-S△BOC-S△AOD ， 利用三角形的面积公式计算可解答。

（3）双曲线上存在点P，使得S△POC=S△POD ， 这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=交点，易证△POC≌△POD，则S△POC=S△POD ， 可得出点P点横纵坐标坐标相等，利用反比例函数解析式，建立关于x的方程，就可得出点P的坐标，利用对称性，可得出点P的另一个坐标，即可得出答案。

7．如图，P1、P2是反比例函数y= （k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶

点．

（1）求反比例函数的解析式．

（2）①求P2的坐标． ②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．

【答案】（1）解：过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B ∵点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形 ∴OB=2，P1B=

OA1=2

∴P1的坐标为（2，2） 将P1的坐标代入反比例函数y= ∴反比例函数的解析式为 ∴P2C=A1C

设P2C=A1C=a，则P2的坐标为（4+a，a）

（k＞0），得k=2×2=4

（2）①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C ∵△P2A1A2为等腰直角三角形

将P2的坐标代入反比例函数的解析式为 a=

，解得a1=

，

，a2=

）

，得 （舍去）

∴P2的坐标为（

②在第一象限内，当2＜x＜2+

时，一次函数的函数值大于反比例函数的值．

【解析】【分析】（1）先根据点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形，求得P1的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据△P2A1A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为（4+a，a），并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范围．

8．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD

（1）求k的值和点E的坐标；

（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵AB=4，BD=2AD， ∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4， ∴AD= ， 又∵OA=3， ∴D（ ，3）， ∵点D在双曲线y= 上，

∴k= ×3=4；

∵四边形OABC为矩形， ∴AB=OC=4， ∴点E的横坐标为4． 把x=4代入y= 中，得y=1， ∴E（4，1）；

（2）解：（2）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m． ∵∠APE=90°， ∴∠APO+∠EPC=90°， 又∵∠APO+∠OAP=90°， ∴∠EPC=∠OAP， 又∵∠AOP=∠PCE=90°， ∴△AOP∽△PCE， ∴ ∴

， ，

解得：m=1或m=3，

∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．

【解析】【分析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；（2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．

9．如图，在菱形ABCD中，

，

,点E是边BC的中点，连接DE,AE.

（1）求DE的长；

（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 ①求证：△ ②求DF的长.

△

；

,

【答案】 （1）解：连结BD

（2）解：①

②

【解析】【分析】（1） 连结BD ，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE⊥BC，CE=2，然后利用勾股定理算出DE的长；

（2）①首先判断出△AGD∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出∠AGE=∠DGF，故△AGE∽△DGF；

②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH⊥DC于点H，在Rt△ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.

， 又

10．已知一次函数y=? x?12的图象分别交x轴，y轴于A，C两点。

（1）求出A，C两点的坐标；

（2）在x轴上找出点B,使△ACB∽△AOC，若抛物线过A，B，C三点，求出此抛物线的解析式；

（3）在(2)的条件下，设动点P、Q分别从A，B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C，A运动，连接PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出所有m值；若不存在，请说明理由。 【答案】 （1）解：

在一次函数y=? x?12中，当x=0时，y=?12； 当y=0时,x=?16,即A(?16,0),C(0,?12)

（2）解：过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求。 则OC2=OA?OB,此时OB=9,可求得B(9,0)； 此时经过A. B. C三点的抛物线的解析式为y= x2+

x?12

（3）解：当PQ∥BC时,如图(1),△APQ∽△ACB；则有： = ,即 = 解得m=

.

，

当PQ⊥AB时,△APQ∽△ACB；有： = ,即 解得m=

.

= ，

【解析】【分析】（1）令直线的解析式y=0，可得A的坐标，令x=0，可得C的坐标（2）要使△ACB∽△AOC，则B点必为过C点且垂直于AC的直线与x轴的交点.那么根据射影定理不难得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式.（3）本题可分两种情况进行求解：①当PQ∥BC时，△APQ∽△ACB；②当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB.可根据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值.

11．

（1）如图1所示，

在

中， ，求证：

（2）如图2所示，

，

.

，点 在斜边

上，点 在直角边

上，若

在矩形

中，

，

，求 的长；

中，

，

，

，点 在

上，连接

，过点 作

交

(或 的延长线)于点 . ①若

②若点 恰好与点 重合，请在备用图上画出图形，并求 的长. 【答案】 （1）证明：∵在 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴

， .

是矩形， ，

，

，

， ， ，

， ，

， ，

，

（2）解：①∵四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵

，

∴ ∴

，

， ；

，

②如图所示，设 ，由①得

，

∴

，即

， ，

，

或

， .

即可证得结

，再利用相似三角形的性质即可求得结果； ，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，

整理，得： 解得：

所以 的长为

【解析】【分析】（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明 论；（2）①仿（1）题证明 ②由①得

解方程即可求得结果.

，设

12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C ， 且OC＝OA

（1）求抛物线解析式；

（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N ． 已知M点的横坐标为m ， 试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S ， 并求当MN的长最大时S的值．

【答案】 （1）解：由A（﹣3，0），且OC＝OA可得C（0，3） 设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），

将C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）解：如图，

设直线AC解析式为y＝kx+d ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴ 解得

，

，

∴直线AC解析式为y＝x+3，

设M（m ， ﹣m2﹣2m+3），则N（m ， m+3），则MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），

S△ACM＝S△AMN+S△CMN＝ MN×3＝﹣ m2﹣ m ， MN＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ， ∵a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0， ∴m＝﹣ 时，MN最大，此时S＝ ．

【解析】【分析】（1）先求出点C坐标，再运用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC的解析式，用m表示点M，N的坐标，即可表示线段MN的长度；根据S△ACM＝S△AMN+S△CMN即可用m表示S△ACM；运用二次函数分析MN最值即可；