（2）如图2中，作PH⊥AC于H．
∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t，∴PQ=PH+HQ=9t+（9﹣9t）． ∵S△PQM=S△QCN，∴
?PQ=×
2
2
2
2
2
2
?CQ，∴9t+（9﹣9t）=×（5t），整理得：5t﹣
22222
18t+9=0，解得t=3（舍弃）或，∴当t=时，满足S△PQM=S△QCN． （3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．
易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=
HQ，∴3t=
（9﹣9t），∴t=
．
②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．
同法可得PH=
QH，∴3t=
s或
（9t﹣9），∴t=
．
综上所述：当t=边上．
s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的
9
4.（2018·吉林长春·10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A.B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段DC的长； （2）当点Q与点C重合时，求t的值；
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．
【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论； （2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；
（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论； （4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4， ∴AC=2
，
∵PD⊥AC，
∴∠ADP=∠CDP=90°， 在Rt△ADP中，AP=2t， ∴DP=t，AD=APcosA=2t×=
t，
∴CD=AC﹣AD=2﹣
t（0＜t＜2）；
（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC=60°， ∴∠PQD=30°=∠A， ∴PA=PQ， ∵PD⊥AC， ∴AD=DQ，
∵点Q和点C重合， ∴AD+DQ=AC， ∴2×
t=2
， ∴t=1；
（3）当0＜t≤1时，S=S△PDQ=DQ×DP=×
t×t=
t2
；
10
当1＜t＜2时，如图2， CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2
t﹣2
=2
（t﹣1），
在Rt△CEQ中，∠CQE=30°， ∴CE=CQ?tan∠CQE=2（t﹣1）×=2（t﹣1），
∴S=S△PDQ﹣S△ECQ=×
t×t﹣×2
（t﹣1）×2（t﹣1）=﹣
t2
+4
t﹣2∴S=；
（4）当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3， ∴∠PGF=90°，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2， ∵∠A=∠AQP=30°， ∴∠FPG=60°， ∴∠PFG=30°， ∴PF=2PG=2t， ∴AP+PF=2t+2t=2， ∴t=；
当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4， ∴∠QMN=90°，AN=AC=，QM=PQ=AP=t， 在Rt△NMQ中，NQ==
t，
∵AN+NQ=AQ， ∴
+
t=2
t，
∴t=，
当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5， ∴BF=BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°， ∵∠ABC=60°， ∴∠BFH=30°=∠H， ∴BH=BF=1，
在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，
，
11
∴AH=AP+PH=AB+BH， ∴2t+2t=5， ∴t=，
即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为秒或秒或秒．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．
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