8－3 Z变换
z变换实质是一种离散拉氏变换，可以看作是拉氏变换的推广与发展。
我们已经很熟悉，对于一个线性连续系统，其运动特性可用线性微分方程来描述，并且可
应用拉氏变换的方法来分析其动态及稳态性能。相似地，一个线性采样系统，其运动特性可由线性差分方程来描述，相应地，需要应用离散拉氏变换法，即所谓z变换法来分析其动态及稳态性能。
由式(8－2)或式(8－3)可知，一般连续函数e(t)的采样函数e?(t)为
e?(t)?e(0)?(t)?e(T)?(t?T)?e(2T)?(t?2T)??
??e(nT)?(t?nT)
n?0?将式(8－10)进行拉氏变换，可得采样函数e?(t)的拉氏变换式，用E?(t)表示
L[e?(t)]?E?(s)?e(0)?e(T)e?2Ts?e(2T)e?2Ts??
??e(nT)e?nTs
n?0?比较(8－10)与(8－11)式可知，采样函数的拉氏变换式与采样函数本身在形式上有明显的对应关系。求取采样函数的拉氏变换式本身并无特殊困难，但是需要指出的是采样函数的拉氏变换式中包含有enTs项，这是复变量s的超越函数。这对采样系统的分析研究，将带来很大的不便，为了
克服这一困难，简化对采样系统的计算，引入z变换概念。
一、 z变换的定义
Ts如果引入新的复变量z，使z?e或s?1?lnz，代入式(8－11)，则E(s)将变成新变量zT的函数，通常用E(z)来表示，即
E(z)?E(s)|???1s?lnzT??e(nT)z?n
n?0?我们称E(z)为e(t)的z变换，记作Z[e(t)]，即
E(z)?Z[e?(t)]?e(0)?e(T)z?1?e(2T)z?2?e(2T)z?3??
??e(n)zn?0??n
这里应强调指出，只有采样函数e?(t)才能定义z变换。如果我们说对连续函数e(t)作z变换时，这就是指对它的采样函数e?(t)作z变换。进一步说，若连续函数e(t)的拉氏变换为E(s)， 因为e(t)与E(s)是唯一对应的，因此如果说对象函数E(s)作z变换，也就是指对其原函数e(t)的采样函数e?(t)作z变换。为了书写方便，通常把e?(t)的z变换记作
E(z)?Z[e?(t)]?Z[e(t)]?Z[E(s)]
??e(nT)z?n
n?0? (8－12a)
因此，式(8－12a)和式(8－12)是同一个意思。
可见，若仅从数学观点来说，z变换只不过是离散拉氏变换引入新变量z?e后的一种变
Ts量代换而已。但是，通过这一代换，可将s的超越函数表达式转变为z的幂级数或有理分式表达式。后面将会看到，这将给采样系统的分析研究带来很大的方便。
【例8－1】设e(t)??(t)，试求e(t)的z变换E(s)。 解 由于e(t)的采样函数为
e?(t)??(t)
于是e?(t)的拉氏变换式为
E?(s)?1
因此
E(z)?Z[?(t)]?E?(s)|【例8－2】设e(t)?1(t)，采样周期为T，试求Z[1(t)]。
解 由于单位阶跃函数的采样函数为
1s?lnzT?1
(8－13)
e(t)???(t?nT)
?n?0?其拉氏变换式为
E(t)??e?nTs
?n?0?因此
E(z)?Z[1(t)]?E(s)|
?1?z?1?1s?lnzT??z?n
n?0??z?2?z?3??
式中，若|z|?1时，则上式便可缩写成如下的闭合形式，即
E(z)?Z[1(t)]?1z?
1?z?1z?1
(8－14)
条件|z|?1可以换成对复变量s的限制，因为
|z|?|eTs|?e?T
(8－15)
式中??Res，所以由上式可见，条件|z|?1与??0等值，即
??Res?0
（8－16)
式(8－16)所示为单位阶跃函数能进行拉氏变换的条件，从数学上讲，z变换只是改换了变量的拉氏变换，因此，不会对单位阶跃函数能进行z变换的条件增加新的要求。 【例8－3】试求衰减的指数函数e
?at的z变换(a?0)。
?at解 将衰减指数函数e(t)?e?at在各采样时刻上的采样值1，e,e?2at,e?3at,…代入式(8
－12)中，得
E(z)??e(nT)z?n
n?0?
?1?e?atz?1?e?2atz?2???e?natz?n??
(8－17)
上式中若条件
|eatz|?1
成立，则式(8－17)可写成下列闭式，即
E(z)?Z[e?at]?11?e?atz?1?z ?atz?e (8－18)
这里需要特别指出的是，相同的z变换式E(z)对应于相同的采样函数e?(t)，但并不一定对应于相同的连续函数e(t)，这一点可用图8－17所示。由图可见， 由 于 采 样 函 数e1(t)，
?????e2(t)，e3(t)=e3(t)=e2(t)完全相同，即e1(t)，其z变
?换式E1(z)、E2(z)、E3(z)必然也完全相同，即
E1(z)=E2(z)=E3(z)。但十分明显，连续函数e1(z)、e2(z)、e3(z)并不完全相同。实际上，如果将E(z)的z反
变换记作
Z?1[E(z)]
则它只能给出采样信号e(t)，而不能提供连续信号e(t)。
综上分析可见，通过级数求和法求取已知函数z变换的
缺点在于：需要将无穷级数写成闭式。这在某些情况下要求很高的技巧。但函数z变换的无穷级数形式(8－12a)却具有鲜明的物理含义，这又是z变换无穷级数表达形式的优点。对照式(8－12)与式(8－10)可见，变量z?n?的系数代表连续函数在各采样时刻上的采样值，而其幂指数n(n?0，
?n1，2?)则表示从时间起点t?0算起，以采样周期T的个数来衡量采样时刻nT，故z实际
上可看作时序变量。因此，z变换本身便包含着时间概念，可由函数z变换的无穷级数形式清楚
地看出原连续函数采样脉冲序列的分布情况。
与拉氏反变换相类似，求取z反变换的工作要比求取z变换困难得多。通常采用的方法为幂级数法(长除法)、部分分式展开法(与拉氏反变换相类似)及留数法等。这里不作专门介绍。
二、 z变换的重要定理
类似于拉氏变换，z变换也有几条常用定理，灵活应用这些定理，将可以大大简化有关运
算。
1线性定理设a、b为任意常数，e1(t)和e2(t)的z变换分别为E1(z)和E2(z)，则有
Z[ae1(t)?be2(t)]?aZ[e1(t)]?bZ[e2(t)]?aE1(z)?bE2(z)
线性定理说明z变换具有线性性质。 证明：根据z变换定义有
Z[ae1(t)?be2(t)]??[ae1(nT)z?n?be2(nT)z?n]
n?0??
?a?e(nT)z1n?0?n?b?e2(nT)z?n
n?0?
?aE1(z)?bE2(a)
2实位移定理
(1) 负位移定理(迟后定理) 设e(t)的z变换为E(z)，则有
Z[e(t?nT)]?z?nE(z)
时，其相对应的z变换需要乘以z
证明：根据z变换定义
?n (8－19)
式(8－19)便是z变换的迟后定理，它说明当原函数e(t)在时间上产生n个采样周期nT的迟后
。
Z[e(t?nT)]??e(kT?nT)zk?0??k?z?n?e(kT?nT)zk?0?m??(k?n)
式中k为正整数，令k?n?m，上式即为
Z[e(t?nT)]?z因为t?0时，e(t)?0，则上式成为
?nm??n?e(mT)z?
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