即k?2xx2?1在区间(0,??)恒成立. 令g(x)?2xx2?1，x?(0,??)， g(x)?2x2x2?1??1，当且仅当x?1时取等号，∴ k?1.x?1实数k的取值范围[1,??).
x19.（14分）定义在正实数集上的函数f(x)满足下列条件：
①存在常数a（0?a?1），使得f(a)?1； ②对任意实数m，当x?0时，恒有f(xm)?mf(x)．
（1）求证：对于任意正实数x、y，f(xy)?f(x)?f(y)； （2）证明：f(x)在(0，??)上是单调减函数；
（3）若不等式f?log2??2??f?log8a?4?xa(4?x)?≤3恒成立，求实数a的取值范围． 解：（1）证明：令x?am，y?an，则f?am?n??(m?n)f(a)?mf(a)?nf(a)?f(am)?f(an)，
所以f(xy)?f(x)?f(y)，即证；（5分） （2）证明：设?0?x1?xx12，则必?s?0，满足
x?as， 2而f(xs1)?f(x2)?f?x1x??f(a)?sf(a)?s?0，即f(x1)?f(x2)， 2所以f(x)在(0，??)上是单调减函数.（10分）
（3）令t?log(4a?)x0?，则f?t2?2??f?8t?≤3，故f?t2?28t?≤f?a3?，即a3≤18?t?2t?， 所以a3≤122，又0?a?1，故0?a?22．（14分）
20．（14分）设函数f(x)?xe2x?c（e?2.71828…是自然对数的底数，c?R）。
（Ⅰ）求f(x)的单调区间、最大值； （Ⅱ）讨论关于x的方程lnx?f(x)根的个数．
20.解：（Ⅰ）f'(x)?(1?2x)e?2x，由 f'(x)?0，解得x?12，
当 x?12时，f'(x)?0，f(x)单调递增；当 x?12时，f'(x)?0，f(x)单调递减.
所以，函数 f(x)的单调递增区间是(??,12)，单调递减区间是(12,??)，
最大值为f(12)?12e?1?c.
（Ⅱ）令g(x)?lnx?f(x)?lnx?xe?2x?c,x?(0,??).
（1） 当 x?(1,??)时， lnx?0，则g(x)?lnx?xe?2x?c， 所以 g'(x)?e?2xe2xxx?1). 因为 2x?1?0,e2x(?2x?0，所以g'(x)?0, 因此g(x)在(1,??)上单调递增.
（2）当 x?(0,1)时， lnx?0，则g(x)??lnx?xe?2x?c， 所以 g'(x)?e?2x(?e2x22xe2x2xx?2x?1).因为e?(1,e),e?1?x?0，所以?x??1.
又2x?1?1，所以?e2xx?2x?1?0，即g'(x)?0，因此g(x)在(0,1)上单调递减. 综合（1）（2）可知 当 x?(0,??)时，g(x)?g(1)??e?2?c.
当g(1)??e?2?c?0，即c??e?2时，g(x)没有零点，故方程lnx?f(x)的根的个数为0； 当g(1)??e?2?c?0，即c??e?2时，g(x)只有一个零点，
故关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为1；当g(1)??e?2?c?0，即c??e?2时， ① 当x?(1,??)时，由（Ⅰ）知g(x)?lnx?xe?2x?c?lnx?(12e?1?c)?lnx?1?c，要使
g(x)?0，只需使lnx?1?c?0，即 x?(e1?c,??)；
② 当x?(0,1)时，由（Ⅰ）知g(x)??lnx?xe?2x?c??lnx?(12e?1?c)??lnx?1?c，
要使g(x)?0，只需使?lnx?1?c?0，即 x?(0,e?1?c)；所以 c?e?2时，g(x)有两个零
点，故关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为2.
综上所述，当c??e?2时，关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为0；
当c??e?2时，关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为1； 当c??e?2时，关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为2.
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