浙江省学考选考高2020届高2017级高考数学一轮复习经典题目专题汇编：导数及其应用

浙江省学考选考高2020届高2017级高考数学一轮复习经典题目

专题汇编

导数及其应用

一、选择、填空题

1、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)设a为正数,f(x)??x?6ax?a,若f(x)在区间

322(0,3a)不大于0,则a的取值范围是( )

A.(0,1111] B. (0,) C. (,??) D. [,??) 272727272、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)已知函数f(x)?x?sin2x(x?0),则函数f(x)的

最小的极值点为 ;若将f(x) 的极值点从小到大排列形成的数列记为?an?,则数列

?an?的通项公式为 . 3、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)已知函数f(x)＝sinx,g(x)＝cosx,设

h(x)＝f(x)+g(x),则( )

A.h1(x)的极小值点是h(x)的极小值点 B.h2(x)极小值点是h(x)的极小值点

C.h(x)的极大值点是h1(x)的极大值点 D.h(x)的极大值点是h2(x)的极大值点 4、(宁波市2019届高三上学期期末考试)已知

存在导函数,若既是周期函

数又是奇函数,则其导函数

A. 既是周期函数又是奇函数 B. 既是周期函数又是偶函数

C. 不是周期函数但是奇函数 D. 不是周期函数但是偶函数

5、(浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考)若对任意a?0,函数

f(x)?x3?ax2?bx?1在开区间(??,0)内有且仅有一个零点,则实数b

的取值范围是______.

6、(稽阳联谊学校2019届高三4月联考)已知关于x的方程xlnx-a(x2-1)=0在(0,+?)上有且只有一个实数根,则a的取值范围是 .

7、(台州市2019届高三4月调研)已知a>1,且函数f(x)＝2x2-x+a+x2-4x+a.若对任意的

x?(1,a)不等式

f(x)?(a1)x恒成立,则实数a的取值范围为

A.(1，9] B.(1，25] C.[4，25] D.[4，+?)

8、(温州市2019届高三2月高考适应性测试)已知f(x)?x?ax,若对任意的 a?R,存在 x0 ?[0,2] ,使得|f(x0)|?k成立,则实数k的最大值是 ▲ .

9、(杭州第四中学2019届高三第二次月考)设函数f(x)是定义在(??,0)上的可导函数,其导函数为

2f'(x),且有2f(x)?xf'(x)?x2,则不等式(x?2018)2f(x?2018)?4f(?2)?0的解集为

________.

10、(杭州市2018届高三上学期期末)若函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则( ) A. 函数f(x)有1个极大值,2个极小值 B. 函数f(x)有2个极大值,2个极小值 C. 函数f(x)有3个极大值,1个极小值 D. 函数f(x)有4个极大值,1个极小值 11、(宁波市2018届高三上学期期末)已知f(x)?像是( )

'12x?cosx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的图4

12、曲线y?e?2x?1在点?0,2?处的切线方程为 13、设函数f?x??

参考答案: 1、A

x,若f?x?在?1,???单调递减,则实数a的取值范围是 . x?a提示:当x??0,3a?时,f??x???3x2?12ax??3x?x?4a??0,∴f?x?在?0,3a?上单调递增.因此

f?3a??a2?27a?1??0,解得0?a≤1. 27?3n?1?,n?2k?2n?1(?1)n?6?*,k?N或an????. 2、 ;an??3n?24126??,n?2k?1??6提示:f??x??1?2cos2x?0?cos2x?1??,所以x??k?或x???k?,k?Z.显然数列266?an?的a1?时,an??6,a2?55?,于是当n为偶数时,an??663n?1?n????1?????,当n为奇数26??13n?2?n?1?????1?????. 66?2?3、D 4、B 5、(??,3] 6、7、答案:B

解析:因为a>1,x?(1,a)不等式f(x)?(a1)x恒成立,所以,

f(x)＝2x2-x+a+x2-4x+a?(a1)x,即,a-1?2x令g(x)?x?aa-1+x+-4恒成立, xxaa,则g'(x)?1?2, xxx?1,a时,g'(x)＜0,g(x)递减;x?()(a,a时,g'(x)＞0,g(x)递增,

)所以,g(x)最小值为:g(a)?a?a?2a, a令t?x?aa?[2a,a?1)(a>1),所以,x??1 xxì?3t-6,4?ta+1aa令h(t)＝2x+-1+x+-4＝2t-1+t-4=2t-2+t-4=?, í?xxt+2,2a?t4??(1)当a34时,t≥4,所以,h(t)的最小值为:6a?6,

2所以,a?1?6a?6,即a?26a?25?0,解得:1?a?25,

即4?a?25

(2)当1＜a＜4时,所以,h(t)的最小值为:2a?2,

2所以,a?1?2a?2,即a?10a?9?0,解得:1?a?9

即1＜a＜4恒成立。

综合(1)(2)可知:1?a?25,选B。

8、12?82 9、(??,?2020) 10、B 11、A 12、2x?y?2?0 13、?0,1?

二、解答题

1、(温州市2019届高三8月适应性测试)函数f(x)?xlnx.g(x)?（1）当a?12ax?2x(a?R) 22时,求曲线y?f(x)与曲线y?g(x)的公切线的方程; e3（2）设函数h(x)?f(x)?g(x)的两个极值点为x1,x2(x1?x2),

x?x21?lnx1lnx2)ex??e2有唯一解。 求证:关于x的方程(ln12a

2、(金丽衢十二校2019届高三第一次联考)已知函数f?x???x?9x?26x?27

3222（1）若f?x?在x?x1,x2(x1?x2)处导数相等,证明:f?x1??f?x2?为定值,并求出该定值 （2）已知对于任意k?0,直线y?kx?a与曲线y?f?x?有唯一公共点,求实数a的取值范围

?x3、(浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考)已知函数f(x)?e?ax(a?R).

（1）当a?0时,直线y?kx是曲线y?f(x)的切线,求实数k的值; （2）若x1,x2是函数f(x)的两个极值点,且x1?x2,求f(x1)的取值范围.

4、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)已知函数f(x)??x?ax?lnx. (I)判断f(x)的单调性;

(II)若函数f(x)存在极值,求这些极值的和的取值范围.

5、(温州九校2019届高三第一次联考)知函数f(x)?x?21?lnx. x（3）若f(x)在x?x1,x2(x1?x2)处导数相等,证明:f(x1)?f(x2)?3?2ln2;

（4）若对于任意k?(??,1),直线y?kx?b与曲线y?f(x)都有唯一公共点,求实数b的取值范围.

6、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)已知函数f(x)?ln(x?a)?点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y = x－2 . (Ⅰ)求实数 a,b 的值;

( Ⅱ ) 函 数 g(x) = f (x + 1) －mx (m? R) 有 两 个 不 同 的 零 点 x1 , x2 , 求 证 : x1 ? x2 ? e.

7、(丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末)已知函数f(x)＝xlnx﹣点x1,x2(x1＜x2).

(Ⅰ)求实数a的取值范围;

2

b(a,b?R),且曲线 y = f (x) 在x12

ax﹣x恰有两个极值2(Ⅱ)求证:;

(Ⅲ)求证:其中e为自然对数的底数).

8、(宁波市2019届高三上学期期末考试)已知函数

,其中

的解析式;

为实数.

(I)若函数的图像关于点对称,求

(II)若,且,为函数的极小

值点,求

的取值范围.

9、(台州市2019届高三上学期期末质量评估)设函数f(x)?(Ⅰ)求函数f(x)在x?1处的切线方程;

143x?x,x?R. 4(Ⅱ)若对任意的实数x,不等式f(x)?a?2x恒成立,求实数a的最大值;

(Ⅲ)设m?0,若对任意的实数k,关于x的方程f(x)?kx?m有且只有两个不同的实根,求实数m的

取值范围.

10、(浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考)设a,b?R,函数

f(x)?ln(1?x)?ax2?bx.

(I)证明:当b?0时,对任意实数a,直线y?x总是曲线y?f(x)的切线; (Ⅱ)若存在实数a,使得对任意x??1且x?0,都有xf(x)?0,求实数b的最小值.

11、(绍兴市2019届高三3月适应性考试)已知函数f(x)?2ln(ax?b),其中a,b?R. (Ⅰ)若直线y?x是曲线y?f(x)的切线,求ab的最大值.

222?a?有1两个不相等的实根,求a的最大整数(Ⅱ)设b?1,若方程f(x)?ax?(a?2a)x值.(ln

5?0.223). 412、(杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模))已知函数f?x???x?1?ex.

(1)求函数f?x?的单调递增区间;

(2)若方程f?x??ax?b?a,b?R?有非负实数解,求a2+4b的最小值.

(纬Na,13、(稽阳联谊学校2019届高三4月联考)已知f(x)=ex+e-x-alnxa2)的极值点

1x0?(,1).

2(Ｉ)求a的值;

(Ⅱ)若不等式f(x)澄b(bZ)恒成立,求b的最大值.

14、(绍兴市上虞区2019届高三第二次(5月)教学质量调测)已知f(x)?ae?x?x与

g(x)?12x?x?b(a,b?R). 2(Ⅰ)若f(x),g(x)在x?2处有相同的切线.求a,b的值;

(Ⅱ)设F(x)?f(x)?g(x),若函数F(x)有两个极值点x1,x2(x1?x2),且 3x1?x2?0,求实数a的取值范围.

15、(台州市2019届高三4月调研)已知函数f(x)=x2?ex(e为自然对数的底数,e?2.71828L).

(Ｉ)若关于x的方程f(x)?a有三个不同的解,求实数a的取值范围;

(Ⅱ)若实数m,n满足m+n=f(-2),其中m>n,分别记:关于x的方程f(x)=m在???,0? 上两个不同的解为x1,x2;关于x的方程f(x)=n在??2,???上两个不同的解为x3,x4,求

16、(温州市2019届高三2月高考适应性测试)记fa(x)?ax(x?1)?lnx ( I)若fa(x)?0对任意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的值; ( II)若直线l : y?kx?1与fa(x)的图像相切于点Q ( m,n ) ;

( i) 试用 m 表示 a 与 k ;

( ii) 若对给定的 k ,总存在三个不同的实数 a1,a 2,a 3,使得直线l 与曲线

证:x1-x2>x3－x4.

fa1(x),fa2(x),fa3(x)同时相切,求实数k的取值范围。

17、(杭州第四中学2019届高三第二次月考)已知函数f(x)??x?ax?lnx （1）判断函数f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)存在极值,且所有极值之和小于5+ln2,求a的取值范围;

2

18、(七彩阳光联盟2019届高三下学期第三次联考)已知f?x??(1)若f?x?在定义域上单调递增,求a的取值范围; (2)若f?x?存在两个极值点x1,x2,求证:x1?x2?2.

参考答案: 1、

13x?ax?lnx. 6

2、

3、

2x2?ax?14、解:(Ⅰ)因为f?x???x?ax?lnx,所以f?(x)??,令g?x??2x2?ax?1.

x2??a2?8?0,即?22?a?22时,g?x??0恒成立,此时f??x??0,所以函数f?x?在?0,???上

为减函数;…3分

??a2?8?0,即a??22或a?22时,g?x??2x2?ax?1?0有不相等的两根,设为a?a2?8a?a2?8x1,x2(x1?x2),则x1?,x2?.当x??0,x1?或x??x2,???时,g?x??0,此时

44f??x??0,所以函数f?x?在?0,x1?和?x2,???上为减函数;当x??x1,x2?时,g?x??0,此时f??x??0,所以函数f?x?在?x1,x2?上为增函数.…7分

2x2?ax?1(Ⅱ)对函数f?x?求导得f?(x)??. 因为f?x?存在极值,所以

x2x2?ax?1f?(x)???0在?0,???上有解,即方程2x2?ax?1?0在?0,???上有解,即

x??a2?8?0.显然当??0时,f?x?无极值,不合题意,所以方程2x2?ax?1?0必有两个不等正

根. …10分

1?xx??012??2设方程2x2?ax?1?0的两个不等正根分别为x1,x2,则?,由题意知

a?x+x=12??2f?x1??f?x2? ?a?x1?x2???x12?x22???lnx1?lnx2?

a2a21a2???1?ln??1?ln2,…13分 2424由a2?8得f?x1??f?x2??2?1?ln1?3?ln2, 2即这些极值的和的取值范围为?3?ln2,???. …15分 5、解:(I)f?(x)?1?11?…………2分x2x

1?1??1?m?02?x1?x1令f?(x1)?f?(x2)?m,得?,

11?2??1?m?0

x2??x2由韦达定理得

11??1…………3分x1x2

即x1?x2?x1?x2?2x1x2,得x1?x2?4…………4分

?11??f(x1)?f(x2)??x1?x2?????xx????lnx1?lnx2?2??1

?x1x2?ln?x1x2??1…………6分

令t?x1?x2?4,则x1x2?ln?x1x2??1?t?lnt?1,令g?t??t?lnt?1?t?4?, 则g??t??1??0?t?4?,得g?t??g?4??3?2ln2…………8分

1t1x??lnx?bx(II)由f?x??kx?b得k?…………9分 x1x??lnx?bx令h?x??, x则x?0?,h?x????,x???,h?x??1…………10分

下面先证明h?x??1恒成立。

若存在x0??0,???,使得h?x0??1,?x?0?,h?x????,且当自变量x充分大

时,h?x??x?1?lnx?bx?1,所以存在x1??0,x0?,x2??x0,???,使得h?x1??1,h?x2??1,取xk?max?h?x1?,h?x2???1,则y?k与y?h?x?至少有两个交点,矛盾。…………12分

由对任意k????,1?,h?x??k只有一个解,得h?x?为?0,???上的递增函

2?lnx?b?1数,?h??x??x?0…………13分 2x22212?x得b???lnx?1,令m?x????lnx?1?x?0?,则m??x??2??,2xxxxx

得b?m?x?max?m?2???ln2…………15分

解二:隐零点估计极值法. 由f?x??kx?b得?1?k?x?令g?x???1?k?x?1?lnx?b?0对任意k????,1?有唯一解…9分 x1?lnx?b,则g?x?有唯一零点. x?1?k?x2?x?1则g??x??,分子部分

x2??4k?3…………10分

(i)当k?3时,g?x?在?0,???上递增,x?0?,g?x????,x???, 4g?x????,则g?x?有唯一零点;…………11分

(ii)当

3?k?1时,g??x??0有两个不同实根x1,x2, 4x1?1?4k?321?4k?3???1,2?,x2???2,+??,

2?1?k?2?1?k?1?4k?3

g?x?在?0,x1?递增,?x1,x2?递减,?x2,???递增,

又x?0?,g?x????,x???,g?x????,则g?x?有零点,

?g?x?极大=g?x1???1?k?x1?12?lnx1?b???lnx1?b?1…………12分 x1x122?xhx???lnx?b?1?1?x?2?,则h??x??2?0?1?x?2?,令??xx

?g?x?极大=g?x1????1?b,?ln2?b?…………13分

同理,g?x?极小=g?x2?????,?ln2?b?,

当?ln2?b?0即b??ln2时,得g?x?极大?0,则g?x?恰有一个零点;

当?ln2?b?0即b??ln2时,则存在g?x?极小=g?x2??0,得g?x?有两个零点,不符合题意.

综上得b??ln2…………15分 6、

7、

8、

9、(Ⅰ)解:f?(x)?x3?3x2,f'(1)??2. .………1分

且f(1)??34,所以在x?1处的切线方程为y??2x?54. ………3分 (Ⅱ)证明:因为对任意的实数x,不等式f(x)?a?2x恒成立.

x4?x3?2x恒成立. .………4分 所以a?4x4?x3?2x, 设g(x)?4322则g'(x)?x?3x?2?(x?1)(x?2x?2)?(x?1)(x?1?3)(x?1?3)

所以g(x)在1?3,1,1+3,??单调递增, 在??,1?????3?,?1,1+3?单调递减. ………6分

?所以g(x)min?min{g(1?3),g(1?3)},

2因为1?3,1+3是方程x?2x?2=0的两根.

4x0(2x0?2)23?x0?2x0??x0(2x0?2)?2x0 所以g(x0)?4422??x0?2x0?1??1. (其中x0?1?3) ?(x0?1)2?2x0所以a的最大值为?1. ………9分 (Ⅲ)解:若对任意的实数k,关于x的方程f(x)?kx?m有且只有两个不同的实根, 当x?0,得m?0,与已知矛盾.

x4?4x3?4mx4?4x3?4m所以k?有两根,即y?与y?k有两个交点. …10分

4x4xx4?4x3?4m3x4?8x3?4m令h(x)?,则h'(x)?. 24x4x令p(x)?3x?8x?4m,p'(x)?12x(x?2),则p(x)在(??,2)单调递减,(2,??)单调递增,所以p(x)min?p(2)?4m?16. …11分

(ⅰ)当4m?16?0时,即m?4时,则h'(x)?0,即h(x)在(??,0),(0,??)单调递增,且当

432x???时,h(x)???;当x?0?时,h(x)???;当x?0?时,h(x)???;当x???时,h(x)???.此时对任意的实数k,原方程恒有且只有两个不同的解. ………12分

(ⅱ)当0?m?4时,p(x)有两个非负根x1,x2,所以h(x)在(??,0),(0,x1),(x2,??)单调递

增,(x1,x2)单调递减,所以当k?(h(x2),h(x1))时有4个交点,k=h(x1)或k=h(x2)有3个交点,均与题意不合,舍去. ………13分

(ⅲ)当m?0时,则p(x)有两个异号的零点x1,x2,不妨设x1?0?x2,则h(x)在

(??,x1),(x2,??)单调递增;h(x)在(x1,0),(0,x2)单调递减.

又x???时,h(x)???;当x?0时,h(x)???;当x?0时,h(x)???;当

??x???时,h(x)???.

所以当h(x1)?h(x2)时,对任意的实数k,原方程恒有且只有两个不同的解.

43432222所以有3x1?8x1?4m?0,3x2?8x2?4m?0,得3(x1?x2)(x1?x2)?8(x1?x2?x1x2). 323222由h(x1)?h(x2),得x1?3x1?x2?3x2,即x1?x2?x1x2?3(x1?x2).

22所以x1?x2?8,x1x2??2,x1?x2?2. 3344故8m?8(x1?x2)?3(x1?x2)

222?8(x1?x2)(x12?x1x2?x2)?3[(x12?x2)?2(x1x2)2]??8.

所以m??1.

所以当m?4或m??1时,原方程对任意实数k均有且只有两个解.………15分 10、易得f(x)的导数f?(x)?2分

(I)证明:此时f(x)?ln(1?x)?ax,f?(x)?21?2ax?b. ………………1?x1?2ax. 1?x 注意到对任意实数a,f(0)?0,f?(0)?1, ………………4分

故直线y?x是曲线y?f(x)在原点(0,0)处的切线; ………………6分 (Ⅱ)由题意,存在实数a,使得对任意x?(?1,0),都有f(x)?0,且对任意x?(0,??),都有

f(x)?0. ………………8分

因f(0)?0,故f?(0)≥0(否则,若f?(0)?0,则在x?0的左右附近,恒有f?(x)?0, 从而f(x)单调递减,不合题意). ………………10分

于是f?(0)?1?b≥0,因此b≥?1. ………………12分

1x21?x?1?≥0(等号成立当且仅当x?0), 又当a?,b??1时,f?(x)?1?x1?x2 于是f(x)在(?1,??)内单调递增,满足题意.

所以b的最小值为?1. ………………15分

11、

12、

13、

14、解:(Ⅰ)解答:f'(x)??ae?x?1,g'(x)?x?1. …………2分

??ae?2?1?3?f'(2)?g'(2)?由于 f(x),g(x)在x?2处有相同的切线,得?,即??2,

f(2)?g(2)ae?2?4?b??? …………4分

?a??2e2解得?. …………6分

b?4?(Ⅱ)

1F(x)?ae?x?x2?b2,则F'(x)??ae?x?x,其中x1,x2是方程?ae?x?x?0的两

根. …………7分

?ae?x?x?0?a??xex,设p(x)??xex,则p'(x)??(x?1)ex,

可知p(x)??xe在(??,?1)?,(?1,??)?,画图像可得a?(0,),x2??1?x1?0

…………9分

x1e

设

x2=t,可得x2?tx1,由3x1?x2?0?t?3. x1?x?x2lntx1?x2??ae1?x1(1?t)x1e?，x?e?t两式相除代入可得,代入可得,,两边取对数可得,.?1?x2x1?t?1??ae?x2t?1t?1lntt?1tg'(t)?h'(t)?h(t)?设,则,再设g(t)?lnt?,则

(t?1)2t21?ttlnt?当t?3,g'(t)?t?1t?12g(t)?lnt??0g(t)?g(3)?ln3??0, 即在单调递增,所以[3,??)tt23t?1lntth(t)??0,所以则h'(t)?在[3,??)单调递增,且当t???,h(t)?0. 2(t?1)1?tlnt?则h(t)?1lnt?[h(3),0),即x1?[?ln3,0). …………14分

21?txx由于a??x1e1,又p(x)??xe在(?1,??)?

3ln313ln3p(x)?(0,],即a?(0,x?[?ln3,0)].…………15分 当1,166215、

16、解:(I)∵fa?(x)?a(2x?1)?1 x∵fa(1)?0,又∵fa(x)?0恒成立,∴fa(1)是fa(x)的最大值 ∴fa?(1)?0,∴a??1

反过来,当a??1时,显然fa(x)?0恒成立. ∴a??1

(II)(i)∵fa?(x)?a(2x?1)?1,由切点Q(m,n),则有: x1?a(2m?1)??k?m???am(m?1)?lnm?km?1把①代入②可得:a?①②,

lnm?2, 2m(2m?1)(lnm?2)?m代入①式得:k?(**),

m2(ii)根据题意方程(**)有三个不同的解, 令F(m)?(2m?1)(lnm?2)?m 2m[2(lnm?2)?(2m?1)1?1]?m2?[(2m?1)(lnm?2)?m]?2mm

m4∴F?(m)?

?(2mlnm?m?1)?(4mlnm?2lnm?6m?4) 3m?2mlnm?2lnm?5m?5(m?1)(5?2lnm) ??m3m352由F?(m)?0,解得两根分别为1与e

∴当m?(0,1)时,F?(m)?0,F(m)单调递减;当m?(1,e)时,F?(m)?0,F(m)单调递增;当

52m?(e,??)时,F?(m)?0,F(m)单调递减

∴F(m)的极小值为F(1)??1;F(m)的极大值为F(e)?5252524e?1 52e52又∵m?(e,??)时,F(m)?52(2m?1)(lnm?2)?m?0

m2∴当k?(0,4e?1)时,方程(**)有三个不同的根, 2e5下面说明三个不同的m对应的a也是不同的:

52设方程(**)的三个不同的根分别为:m1,m2,m3,且0?m1?1?m2?e?m3 则有:a1?lnm3?2lnm1?2lnm2?2a?a?,,,显然a1?0,a2,a3?0 23222m1m2m3只需说明a2?a3即可, 又由F(m2)?F(m3)可得:

(2m2?1)(lnm2?2)?m2(2m3?1)(lnm3?2)?m3? 22m2m3即(2m2?1)a2?11?(2m3?1)a3?,假设a2?a3??, m2m3111?,即2?? m3m2m2m3则有2(m2?m3)??即

lnm2?2lnm3?2lnm2?lnm31????? 22222m2m3m2m3m2?m3m21m2m3m11?(?)?0,令2?s?1,即lns?(s?)?0 m32m3m2m32s即ln设G(s)?lns?11(s?) 2s

∴G?(s)?11111?(1?2)??(1?)2?0 s2s2s∴G(s)在(0,1)上是减函数,即G(s)?G(1)?0,与G(s)?0矛盾 ∴假设不真,即a2?a3

∴当k?(0,4e?1),存在三个不同的实数a1，a2，a3使得直线l与曲线fa(x),fa(x),fa(x)同时相52e15223切.

17、(1)函数的定义为(0,＋∞)

2x2?1?2x2?ax?11?a＝ f'(x)??2x??a＝?xxx令g(x)??2x?ax?1,

2△＝a－8≤0时,即?22?a?22时,g(x)≤0,f'(x)?0,f(x)在(0,＋∞)单调递减。

22△＝a－8＞0时,即a??22或a?22时,

?a?a2?8a?a2?8x??

?44因为x＞0,所以,a??22不合

a?a2?8a?a2?8当a?22时,f(x)在(0,),(,＋∞)单调递减。

44a?a2?8a?a2?8 在(,)单调递增

44

(2)

?2x2?ax?1 f'(x)＝

x

18、(Ⅰ)易知f(x)的定义域为(0,??),由题意知f?(x)?121x?a??0在(0,??)上恒成立,即2xa?121x?在(0,??)上恒成立, ………2分 2x121x?,x?0, 2x令g(x)?1x3?1则g?(x)?x?2?, ………4分

xx2所以,当x?1时,g?(x)?0,g(x)单调递增,当0?x?1时,g?(x)?0,g(x)单调递减,

所以,当x?1时,g(x)有最小值g(1)?3, 2所以,a?3. ………6分 2121x?a?, 2x12111x?,设g(x)?x2?,x?0, 2x2x(Ⅱ)因为f?(x)?由f?(x)?0知,a?

由(Ⅰ)g(x1)?g(x2),且g(x)在(1,??)上单调递增,g(x)在(0,1)上单调递减, 所以,0?x1?1?x2,

令h(x)?g(1?x)?g(1?x),x?(?1,0), ………8分 则h?(x)?g?(1?x)?g?(1?x)?1?x?11?1?x?

(1?x)2(1?x)2222?2x2(?1x22)??(1x?2? ?2?2(1?x)2(1?x)2(1?x)(1?x)

)x2(x?3)(x?3) ?2?,

(1?x)2(1?x)2所以h(x)在(?1,0)上单调递减,且h(0)?0, ………10分 所以,当x?(?1,0)时,h(x)?h(0)?0, 又x1?(0,1),∴x1?1?(?1,0)

∴ h(x1?1)?0,即g(x1)?g(2?x1)?0

所以,g(x1)?g(x2)?g(2?x1), ………13分 因为,x1?1,2?x1?1,x2?1,且g(x)在(1,??)上单调递增,

所以,x2?2?x1即x1?x2?2. ………15分 方法2:因为f?(x)?121x?a?, 2x12111x?,设g(x)?x2?,x?0, 2x2x由f?(x)?0知,a?由(Ⅰ)g(x1)?g(x2),且g(x)在(1,??)上单调递增,g(x)在(0,1)上单调递减, 所以,0?x1?1?x2,

令h(x)?g(x)?g(2?x),x?(0,1), ………8分 则h?(x)?g?(x)?g?(2?x)?x?11?2?x? x2(2?x)2

2x2?4x?42(x?1)2[(x?1)2?3]? ?2?2, 222x(2?x)x(2?x)所以,h(x)在x?(0,1)上单调递减,

又h(1)?0,故h(x)?h(1)?0恒成立, ………10分 所以,g(x)?g(2?x)对x?(0,1)上恒成立, 因为0?x1?1,

所以g(x1)?g(2?x1),即g(x2)?g(2?x1), 又x2?1,2?x1?0且g(x)在(1,??)上单调递增,

所以x2?2?x1即x1?x2?2.

………13分 ………15分