x4?x3?2x恒成立. .………4分 所以a?4x4?x3?2x, 设g(x)?4322则g'(x)?x?3x?2?(x?1)(x?2x?2)?(x?1)(x?1?3)(x?1?3)
所以g(x)在1?3,1,1+3,??单调递增, 在??,1?????3?,?1,1+3?单调递减. ………6分
?所以g(x)min?min{g(1?3),g(1?3)},
2因为1?3,1+3是方程x?2x?2=0的两根.
4x0(2x0?2)23?x0?2x0??x0(2x0?2)?2x0 所以g(x0)?4422??x0?2x0?1??1. (其中x0?1?3) ?(x0?1)2?2x0所以a的最大值为?1. ………9分 (Ⅲ)解:若对任意的实数k,关于x的方程f(x)?kx?m有且只有两个不同的实根, 当x?0,得m?0,与已知矛盾.
x4?4x3?4mx4?4x3?4m所以k?有两根,即y?与y?k有两个交点. …10分
4x4xx4?4x3?4m3x4?8x3?4m令h(x)?,则h'(x)?. 24x4x令p(x)?3x?8x?4m,p'(x)?12x(x?2),则p(x)在(??,2)单调递减,(2,??)单调递增,所以p(x)min?p(2)?4m?16. …11分
(ⅰ)当4m?16?0时,即m?4时,则h'(x)?0,即h(x)在(??,0),(0,??)单调递增,且当
432x???时,h(x)???;当x?0?时,h(x)???;当x?0?时,h(x)???;当x???时,h(x)???.此时对任意的实数k,原方程恒有且只有两个不同的解. ………12分
(ⅱ)当0?m?4时,p(x)有两个非负根x1,x2,所以h(x)在(??,0),(0,x1),(x2,??)单调递
增,(x1,x2)单调递减,所以当k?(h(x2),h(x1))时有4个交点,k=h(x1)或k=h(x2)有3个交点,均与题意不合,舍去. ………13分
(ⅲ)当m?0时,则p(x)有两个异号的零点x1,x2,不妨设x1?0?x2,则h(x)在
(??,x1),(x2,??)单调递增;h(x)在(x1,0),(0,x2)单调递减.
又x???时,h(x)???;当x?0时,h(x)???;当x?0时,h(x)???;当
??x???时,h(x)???.
所以当h(x1)?h(x2)时,对任意的实数k,原方程恒有且只有两个不同的解.
43432222所以有3x1?8x1?4m?0,3x2?8x2?4m?0,得3(x1?x2)(x1?x2)?8(x1?x2?x1x2). 323222由h(x1)?h(x2),得x1?3x1?x2?3x2,即x1?x2?x1x2?3(x1?x2).
22所以x1?x2?8,x1x2??2,x1?x2?2. 3344故8m?8(x1?x2)?3(x1?x2)
222?8(x1?x2)(x12?x1x2?x2)?3[(x12?x2)?2(x1x2)2]??8.
所以m??1.
所以当m?4或m??1时,原方程对任意实数k均有且只有两个解.………15分 10、易得f(x)的导数f?(x)?2分
(I)证明:此时f(x)?ln(1?x)?ax,f?(x)?21?2ax?b. ………………1?x1?2ax. 1?x 注意到对任意实数a,f(0)?0,f?(0)?1, ………………4分
故直线y?x是曲线y?f(x)在原点(0,0)处的切线; ………………6分 (Ⅱ)由题意,存在实数a,使得对任意x?(?1,0),都有f(x)?0,且对任意x?(0,??),都有
f(x)?0. ………………8分
因f(0)?0,故f?(0)≥0(否则,若f?(0)?0,则在x?0的左右附近,恒有f?(x)?0, 从而f(x)单调递减,不合题意). ………………10分
于是f?(0)?1?b≥0,因此b≥?1. ………………12分
1x21?x?1?≥0(等号成立当且仅当x?0), 又当a?,b??1时,f?(x)?1?x1?x2 于是f(x)在(?1,??)内单调递增,满足题意.
所以b的最小值为?1. ………………15分
11、
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