浙江省学考选考高2020届高2017级高考数学一轮复习经典题目专题汇编：导数及其应用

16、解:(I)∵fa?(x)?a(2x?1)?1 x∵fa(1)?0,又∵fa(x)?0恒成立,∴fa(1)是fa(x)的最大值 ∴fa?(1)?0,∴a??1

反过来,当a??1时,显然fa(x)?0恒成立. ∴a??1

(II)(i)∵fa?(x)?a(2x?1)?1,由切点Q(m,n),则有: x1?a(2m?1)??k?m???am(m?1)?lnm?km?1把①代入②可得:a?①②,

lnm?2, 2m(2m?1)(lnm?2)?m代入①式得:k?(**),

m2(ii)根据题意方程(**)有三个不同的解, 令F(m)?(2m?1)(lnm?2)?m 2m[2(lnm?2)?(2m?1)1?1]?m2?[(2m?1)(lnm?2)?m]?2mm

m4∴F?(m)?

?(2mlnm?m?1)?(4mlnm?2lnm?6m?4) 3m?2mlnm?2lnm?5m?5(m?1)(5?2lnm) ??m3m352由F?(m)?0,解得两根分别为1与e

∴当m?(0,1)时,F?(m)?0,F(m)单调递减;当m?(1,e)时,F?(m)?0,F(m)单调递增;当

52m?(e,??)时,F?(m)?0,F(m)单调递减

∴F(m)的极小值为F(1)??1;F(m)的极大值为F(e)?5252524e?1 52e52又∵m?(e,??)时,F(m)?52(2m?1)(lnm?2)?m?0

m2∴当k?(0,4e?1)时,方程(**)有三个不同的根, 2e5下面说明三个不同的m对应的a也是不同的:

52设方程(**)的三个不同的根分别为:m1,m2,m3,且0?m1?1?m2?e?m3 则有:a1?lnm3?2lnm1?2lnm2?2a?a?,,,显然a1?0,a2,a3?0 23222m1m2m3只需说明a2?a3即可, 又由F(m2)?F(m3)可得:

(2m2?1)(lnm2?2)?m2(2m3?1)(lnm3?2)?m3? 22m2m3即(2m2?1)a2?11?(2m3?1)a3?,假设a2?a3??, m2m3111?,即2?? m3m2m2m3则有2(m2?m3)??即

lnm2?2lnm3?2lnm2?lnm31????? 22222m2m3m2m3m2?m3m21m2m3m11?(?)?0,令2?s?1,即lns?(s?)?0 m32m3m2m32s即ln设G(s)?lns?11(s?) 2s

∴G?(s)?11111?(1?2)??(1?)2?0 s2s2s∴G(s)在(0,1)上是减函数,即G(s)?G(1)?0,与G(s)?0矛盾 ∴假设不真,即a2?a3

∴当k?(0,4e?1),存在三个不同的实数a1，a2，a3使得直线l与曲线fa(x),fa(x),fa(x)同时相52e15223切.

17、(1)函数的定义为(0,＋∞)

2x2?1?2x2?ax?11?a＝ f'(x)??2x??a＝?xxx令g(x)??2x?ax?1,

2△＝a－8≤0时,即?22?a?22时,g(x)≤0,f'(x)?0,f(x)在(0,＋∞)单调递减。

22△＝a－8＞0时,即a??22或a?22时,

?a?a2?8a?a2?8x??

?44因为x＞0,所以,a??22不合

a?a2?8a?a2?8当a?22时,f(x)在(0,),(,＋∞)单调递减。

44a?a2?8a?a2?8 在(,)单调递增

44

(2)

?2x2?ax?1 f'(x)＝

x

18、(Ⅰ)易知f(x)的定义域为(0,??),由题意知f?(x)?121x?a??0在(0,??)上恒成立,即2xa?121x?在(0,??)上恒成立, ………2分 2x121x?,x?0, 2x令g(x)?1x3?1则g?(x)?x?2?, ………4分

xx2所以,当x?1时,g?(x)?0,g(x)单调递增,当0?x?1时,g?(x)?0,g(x)单调递减,

所以,当x?1时,g(x)有最小值g(1)?3, 2所以,a?3. ………6分 2121x?a?, 2x12111x?,设g(x)?x2?,x?0, 2x2x(Ⅱ)因为f?(x)?由f?(x)?0知,a?