解得a1＝1，所以an＝2n－1. (2)由an＝2n－1可知
－bn＝＝＝??.
anan＋1?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?设数列{bn}的前n项和为Tn，则
－Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝??1－?＋?－?＋?－?＋…＋?＝
335572n－12n＋1??[结论探究] 条件探究中的条件不变，求解(2)变为：令bn＝(－1)的前n项和Tn.
解 bn＝(－1)
n－1
n－1
11
1?1
1
?1??2??
1?
?11??11???????1
?
1
n??. ??2n＋1
4n，求数列{bn}
anan＋1
4nanan＋1
＝(－1)
n－1
11?4nn－1?＋＝(－1)??.
?2n－1??2n＋1??2n－12n＋1?
1
当n为偶数时，
＋＋Tn＝?1＋?－?＋?＋…＋?－＝1－3352n－32n－1??2n－12n＋1???
1?
?11?????1
???1??
1??
12n＝. 2n＋12n＋1
?1??11??1＋1?＋?1＋1?＝1＋
当n为奇数时，Tn＝?1＋?－?＋?＋…－?????3??35??2n－32n－1??2n－12n＋1?
12n＋2
＝. 2n＋12n＋1
2n＋2??2n＋1，n为奇数，
所以T＝?2n??2n＋1，n为偶数
n
?或Tn＝2n＋1＋?－1??.
??2n＋1??
n－1
方法探究
几种常见的裂项相消及解题策略
(1)常见的裂项方法(其中n为正整数)
(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等．
冲关针对训练
1*
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N)．
2(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列?
?
?的前n项和为Tn，求证：Tn<.
4?bnbn＋2?
1?3
1*
解 (1)∵Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N)，
21
∴当n＝1时，－2＝a2＋2，解得a2＝－8，
21
当n≥2时，Sn－1＝an＋n，
2
两式相减，并化简，得an＋1＝3an－2， 即an＋1－1＝3(an－1)，
n＝1时，a2－1＝3(a1－1)＝－9，
所以{an－1}是以－3为首项，3为公比的等比数列， 所以an－1＝(－3)23故an＝－3＋1.
(2)证明：由bn＝log3(－an＋1)＝log33＝n，得
1?2?
11
1
11
1
1
1
nnn－1
＝－3.
1
1?11?1
＝?－?，
n?n＋2?2?nn＋2?1?2?
1
1
1?nbnbn＋2
＝－＋－－Tn＝?1－＋－＋－＋…＋＝?1＋－?＝－
32435n－1n＋1nn＋2?2n＋1n＋2
1?
??
3
4
2n＋33
<.
2?n＋1??n＋2?4
题型3 分组转化法求和
*
在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和a4的等差中项，典例1若bn＝log2an＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋分组求和，裂项相消法．
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，且q>0， 在等比数列{an}中，由an>0，a1a3＝4得，a2＝2，① 又a3＋1是a2和a4的等差中项， 所以2(a3＋1)＝a2＋a4，②
把①代入②得，2(2q＋1)＝2＋2q，解得q＝2或q＝0(舍去)，所以an＝a2q则bn＝log2an＋1＝log22＝n. (2)由(1)得，cn＝an＋1＋
1?111?1nn－＝2＋＝2＋??，
b2n－12b2n＋1?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?
n2
1
，求数列{cn}的前n项和．
b2n－12b2n＋1
n－2
＝2
n－1
，
所以数列{cn}的前n项和
nSn＝2＋22＋…＋2n＋
12
??1－1?＋?1－1?＋…＋?1－1??＝2?1－2?＋1?1－1?＝2n＋1－2＋n. ??3??35??2n－12n＋1????1－22?2n＋1?2n＋1????????
典例2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝8，S4＝40.数列{bn}的前n项和为
Tn，且Tn－2bn＋3＝0，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
??an，n为奇数，
(2)设cn＝?
?bn，n为偶数，?
求数列{cn}的前n项和Pn.
分组求和，分类讨论法．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
??a1＋d＝8，
由题意，得?
?4a1＋6d＝40，?
??a1＝4，
解得?
?d＝4，?
∴an＝4n.
∵Tn－2bn＋3＝0，①
∴当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，Tn－1－2bn－1＋3＝0，② ①－②，得bn＝2bn－1(n≥2)， 则数列{bn}为等比数列， ∴bn＝322
n－1
.
??4n，n为奇数，
(2)cn＝?n－1
?322，n为偶数.?
?4＋4n－4?2
n当n为偶数时，Pn＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝＝2
n＋1
2
61－4?2?2??
＋1－4
?
n?
＋n－2.
2
当n为奇数时，
n＝1时，P1＝c1＝a1＝4，
解法一：n－1为偶数，Pn＝Pn－1＋cn＝2
(n－1)＋1
＋(n－1)－2＋4n＝2＋n＋2n－1，
?4＋4n?2
2n2
n＋1
2＋
解法二：Pn＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝6?1－4
2
??
n－1?
1－4
2??n2
＝2＋n＋2n－1.
n＋1
2
??2＋n－2，n为偶数，∴Pn＝?n2
?2＋n＋2n－1，n为奇数.?
方法技巧
分组转化法求和的常见类型
1．若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．如典例1.
2．通项公式为an＝?
?bn，n为奇数，?
??cn，n为偶数
的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差
数列，可采用分组求和法求和．如典例2.
冲关针对训练
1．数列{(－1)2n}的前2018项的和S2018为( ) A．－2018 B．－1009 C．2018 D．1009 答案 D
n
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