112*
2．已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N)，且－＝，S6＝63.
a1a2a3
(1)求{an}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)bn}的前2n项和．
解 (1)设数列{an}的公比为q. 112
由已知，有－＝2，
*
n2
a1a1qa1q解得q＝2或q＝－1.
a1?1－q6?
又由S6＝＝63，知q≠－1，
1－q所以
a1?1－26?
1－2
n－1
＝63，得a1＝1.
所以an＝2.
1
(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)
211n－1n＝(log22＋log22)＝n－， 22
1
即{bn}的首项为，公差为1的等差数列．
2设数列{?－1?bn}的前n项和为Tn，则
n2
22222
T2n＝(－b21＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－b2n－1＋b2n)＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝
2n?b1＋b2n?2
＝2n. 2
题型4 倒序相加法
x4 ?1?＋f?2?＋…＋f?2016?，则S＝________.
设f(x)＝，若S＝f?2017??2017??2017?x典例4＋2??????
利用函数性质f(x)＋f(1－x)＝1倒序相加求和． 答案 1008
442
解析 ∵f(x)＝x，∴f(1－x)＝1－x＝x.
4＋24＋22＋442
∴f(x)＋f(1－x)＝x＋x＝1.
4＋22＋4
xx1－xS＝f?S＝f?
?1?＋f?2?＋…＋f?2016?，①
????2017??2017??2017????2016?＋f?2015?＋…＋f?1?，②
????2017??2017??2017???
??1?＋f?2016??＋?f?2?＋f?2015??＋…＋?f?2016?＋f?1??①＋②，得2S＝?f?????????????2017??2017??
??2017??2017????2017??2017????????
＝2016.
∴S＝
2016
＝1008. 2
方法技巧
如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．
冲关针对训练
已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中心为(1008,2)．数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝f(n)，n∈N，求S2015.
解 由条件得f(231008－x)＋f(x)＝232， 即f(2016－x)＋f(x)＝4. 于是有a2016－n＋an＝4(n∈N)． 又S2015＝a1＋a2＋a3＋…＋a2014＋a2015，
*
*
S2015＝a2015＋a2014＋…＋a2＋a1.两式相加得
2S2015＝(a1＋a2015)＋(a2＋a2014)＋…＋(a2014＋a2)＋(a2015＋a1)＝2015(a1＋a2015)＝201534.
故S2015＝201532＝4030.
1．(20182江西九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于( )
A．5 B．6 C．7 D．16 答案 C
解析 根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又因为16＝236＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝230＋7＝7.故选C.
?2＋1?
2．(20172湘潭三模)设Tn为数列?n?的前
?2?
nn项和，若m>T10＋1013恒成立，则整数
m的最小值为( )
A．1026 B．1025 C．1024 D．1023 答案 C
n2＋1?1?n解析 ∵n＝1＋??，
2?2?
1
∴Tn＝n＋1－n，
2∴T10＋1013＝11－又m>T10＋1013，
∴整数m的最小值为1024.故选C.
3．(20172全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 解 (1)设{an}的公比为q.由题设可得
??a1?1＋q?＝2，?2??a1?1＋q＋q?＝－6.
11
10＋1013＝1024－10， 22
解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通项公式为an＝(－2). (2)由(1)可得
n＋1
a1?1－qn?2n2Sn＝＝－＋(－1). 1－q33
n4n2由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)
3
n2?2?＝2S，
＝2?－＋?－1?n3??3?
n＋1
n＋3
－2
3
n＋2
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
4．(20182河南质检)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N)．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得
*
*
b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3， 又因为q＞0，所以q＝2，所以bn＝2. 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，① 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，② 联立①②，解得a1＝1，d＝3， 由此可得an＝3n－2.
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2.
nn2
(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2341)34，
故Tn＝234＋534＋834＋…＋(3n－1)34，
4Tn＝234＋534＋834＋…＋(3n－4)34＋(3n－1)34上述两式相减，得
－3Tn＝234＋334＋334＋…＋334－(3n－1)341)34
n＋1
2
3
2
3
4
2
3
n－1
，得a2nb2n－1＝(3n－
nnnn＋1
，
nnn＋1
123?1－4?＝－4－(3n－
1－4
＝－(3n－2)34
n＋1
－8，得Tn＝
3n－2n＋18
34＋. 33
3n－2n＋18
所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为34＋. 33
[重点保分 两级优选练]
A级
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则an＋100＋an－98＝( ) A．8n＋6 B．4n＋1 C．8n＋3 D．4n＋3 答案 A
解析 设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋2?2－1?
2a＋d＝10，??2?5?5－1???5a＋2d＝55，
11
n?n－1?
d，由S2＝10，S5＝55，可得
2
3
??a1＝3，得?
?d＝4，?
所以an＝a1＋(n－1)d＝4n－1，则an＋100＋an－98＝2an＋1＝8n＋6.故选A.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是( )
32A．1 B．2 C．4 D．6 答案 B
解析 由－＝1得
32
S3S2
S3S2a1＋a2＋a3a1＋a2
－
22a1＋dd＝a1＋d－＝＝1，所以d＝2.故选B.
22
3．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝22721
A. B. C．7 D. 384答案 D
9?a1＋a9?
2a52a5a1＋a9S973921
解析 ＝＝＝＝＝＝.故选D.
b52b5b1＋b99?b1＋b9?T99＋34
2
Sn7na5
，则＝( )
Tnn＋3b5
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