教学设计
名称 2.2.1 椭圆及其标准方程(一) 潘妍姝 课时 1 基本信息 执教者 所属教材目录 人教版数学选修2-1第二章第二节 椭圆及其标准方程是平面解析几何中的重要基础知识。这须教材内容承上启下，为研究双曲线和抛物线提供方法。此外求椭圆标准方程的方法也对其它曲线标准方程的得出起到先导和示范作用，从而达到培养学生探索问题和解决问题能力的目的 1、在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐教材标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。 分析 2、经过一年半的高中学习，学生的计算能力、分析解决问题的能力、归纳概括能力、建模能力都有了明显提高，使得进一步探究学习本节内容成为可能。但是，在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。 1、通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形； 知识与能力目标 2、领会每一个几何性质的内涵，并学会运用它们解决一些简单问题。 1、通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法 过程与方法目标 教学目标 2、通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力 1、培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识； 情感态度与价值观 2、通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育； 目标 3、通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。 教学重难点 重点 椭圆的定义和椭圆的标准方程 难点 椭圆的标准方程的推导． 教学教学策略： 策略 借助多媒体辅助手段，先给出一个可以直观的椭圆，创设问题情景，让学生从形的角度先对椭圆的几何性质有一个整体的把握，引导学生观察、分析、猜测、论与设证，然后再重点从数的角度也就是方程组织讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得到结论后总结，及时进行反馈应用和反思总结 计说设计说明： 2、倡导学生主动参与，乐于研究，勤于动手、培养学生获取新知识的能力 明 1、激发学生的求知欲，在师生互动共同探索的过程中加深对椭圆范围的理解 教学过程 教学环节（注明每个环节预设的时间） 教师活动 学生活动 设计意图 图片展示：神州7号飞船椭圆轨道和近圆轨道；汽车储油罐横截面的外轮廓线；汽车车标的轮廓线等 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆． 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义： 1.教师带 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大领学生体于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭会解析几（1）从现实问题圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 何研究问引入，使学生了解(一)椭题思路 数学源于实际。 圆概念（2）展示图片，2.学生从的引入使学生更好的掌学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2感性上认9分钟 握椭圆形状，更直的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加识椭圆的观、形象地了解后以强调： 定义及主面要学的内容。 要特征 (1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”． (2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”． 1．标准方程的推导
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．
如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤． (1)建系设点
以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设
|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)． (2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为：
（二)
． 椭圆标P={M||MF1|+|MF2|=2a｝
准方程(3)代数方程 的推导13分钟 .教师引导学生得出椭圆方程，让学生自己去推(4)化简方程
由a、b的导椭圆的标准方
关系判定程，给学生较多的
焦点在哪思考问题的时间
整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
一个坐标和空间，变“被动”椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这轴上。2.为“主动”，变“灌里c2=a2-b2． 教师给出输”为“发现”。
表格和学教师结合猜想加2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)
生一起总以引导 F1(-c，0)、F2(c，
结椭圆的0)，这里c2=a2-b2；
方
F1(-c，0)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．
教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点 例2 已知B、C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程． 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图． 在图8－4中，由△ABC的周长等于16，|BC|＝6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|＋|AC|=16－6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦（1）掌握椭圆方点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图(图8－4)． 程a、b之间的关1.教师引解：如图8－4，建立坐标系，使x轴经过点B、C，导学生得系 (2)掌握运用椭圆定义法、原点O与BC的中点重合． 学生自己待定系数法求椭写解题过(三)例题由已知|AB|＋|AC|＋|BC|=16，|BC|=6，有|AB|＋圆的标准方程。运程 2.学生与8分|AC|=10， 用定义法时要强板演 3.学钟，练习化根式化简计算；即点A的轨迹是椭圆，且 生讨论4.12分钟 运用待定系数法老师出示2c＝6，2a＝16－6＝10， 时强调“二定”即练习题（课∴ c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16． 定位定量； 件 ）学生（3）培养学生运但当点A在直线BC上，即y＝0时，A、B、C三点做练习题 用知识解决问题不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是 的能力 注 求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件． 1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)． 注意：求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点应在所得方程后注明限制条件。 4.求满足条件的点的轨迹方程时： （1）若不清楚轨迹类型：用坐标法； （2）若清楚轨迹类型，则建立适当的坐标系，设出其方程，再确定方程中的参 根据教学大纲，认真设计了教学过程，在老师的启发和引导下，在多媒体课件的辅助下，通过观察、课堂小类比、归纳达到教学目的。激发了学生的学习兴趣、听、记、回归纳小结，突出重结2分调动了学生的学习的积极性，让学生参与了知识的形钟 成过程，充分体现了学生在教学中的主体地位，通过顾所学新点，巩固新知，形知识 成知识网络。 例题分析和练习题的训练，巩固了所学知识，加深了学生对知识的理解和掌握，这样的设计，符合了学生的认知规律。 布置作业1分钟 （1）.巩固知识发现和弥补教学中的不足（2）.强化记作业 学生的基本技能的训练，提高学生运用新知识的熟练程度 板书设计 好的板书就像一份微型教案，此板书力图全面而简明的将授课内容 传递给学生，清晰直观，便于学生理解和记忆，理清文章脉络。 本节课的重点是椭圆的定义及标准方程的推导，难点是标准方程推导过程中的建系过程和方程化简过程。在椭圆定义的教学中我充分运用多媒体演示及课堂学生的动手试验突出椭圆定义中到两个定点的距离为什么要大于两个定点的距离；另一方面从图形出发让学生注意三角形两边之和大于第三边也可以解释；在标准方程建教学反立的过程中建系是难点，学生很难入手，在这里我充分引导学生建系的目的是用坐思 标表示点，用方程表示曲线，引导学生关注两个定点的坐标及距离公式好表示，并强调建系要关注椭圆的对称性。在推导完方程后通过不同的坐标系让学生观察分析方程的推导变化进一步体会坐标系建立过程中关注点的坐标及曲线的对称性的重要性。在方程化简过程中我同过课堂上学生自主推导焦点在y轴上的标准方程进一步让学生自己体会化简的过程和运算技巧，让学生能初步的解决类似问题.
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