2012年高考立体几何选作
1、[2012·课标全国卷] 已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
2322A. B. C. D. 6632
2、[2012·辽宁卷] 已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上．若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________． 3、[2012·北京卷] 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． A A
M
D E E D C B B 图2 C
图 1 4、[2012·湖北卷] 如图1所示，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连结AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图2)．
(1)当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大？
(2)当三棱锥A－BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小． A A
M
D B C C D
E B 图1 图2
5、[2012·全国卷] 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED； (2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
1
P E A
D B
C
6、[2012·辽宁卷] 如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值． A/
C/
N B/ M
A C B 7、[2012·天津卷] 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.
(1)证明PC⊥AD；
(2)求二面角A－PC－D的正弦值；
(3)设E与棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长． P
B
A C
D 8、[2012·福建卷] 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．
2
A1 D1
B1 C1 A D
E
B C
9、[2012·湖南卷] 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
P
A D
E B C
3
2012立体几何高考题答案
3
3
3、解：(1)证明：因为AC⊥BC，DE∥BC， 所以DE⊥AC，
所以DE⊥A1D，DE⊥CD， 所以DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C. 又因为A1C⊥CD， 所以A1C⊥平面BCDE.
(2)如右图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz， 则A1(0,0,23)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)． 设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则 →→n·A1B＝0，n·BE＝0. →→
又A1B＝(3,0，－23)，BE＝(－1,2,0)， 1、A 2、
?3x－23z＝0，所以?
?－x＋2y＝0.
令y＝1，则x＝2，z＝3， 所以n＝(2,1，3)．
设CM与平面A1BE所成的角为θ，
→
因为CM＝(0,1，3)，
→??n·42→CM所以sinθ＝|cos(n，CM)|＝?＝. ?＝
8×42?|n||CM|?π
所以CM与平面A1BE所成角的大小为.
4
(3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下： 假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]． 设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则 →→m·A1D＝0，m·DP＝0. →→
又A1D＝(0,2，－23)，DP＝(p，－2,0)，
?2y－23z＝0，所以?
px－2y＝0.?
p
令x＝2，则y＝p，z＝. 3p
所以m＝?2，p，?.
3??
平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0， 即4＋p＋p＝0.
4
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