突破与提升策略
【故事介 】
从前有个少年外出求学， 某天不幸得知老父 病危的消息， 便立即赶路回家． 根据“两点之 段最短”， 然从他此刻位置 A 到家 B之 是一片砂石地， 但他 无反 踏上 途，当赶到家 ，老人 咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭． 居告 小伙子 ，老人弥留之 不断念叨着“胡不 胡不 ?”（“胡”同
“何”）
而如果先沿着 道 AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家
【模型建立】
如 ，一 点 P 在直 MN外的运 速度
V1，在直 MN上运 的速度
V2， 且 V1 AC BC V2 V1 的 最 小． 【 分析】 AC V2 BC V1 = 1 BC V1 V2 AC ， k V1 V2 ， V1 即求 BC+kAC的最小 ． 【 解决】 构造射 AD使得 sin ∠ DAN=k，CH/ AC=k，CH=kAC． 将 化 求 BC+CH最小 ， B 点作 BH⊥AD交 MN于点 C，交 AD于 H 点， 此 BC+CH取到最小 ，即 BC+kAC最小． 【模型总结】 在求形如“ PA kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将 + “ PA+kPB”型问题转化为“ PA+PC”型． 而这里的 PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到 kPB 的等线段． 1. 如图，△ ABC中，AB=AC=10，tan A=2，BE⊥ AC于点 E，D是线段 BE上的一个动 点，则 CD 5 BD 的最小值是 _______． 5 【分析】本题关键在于处理“ 5 BD ”，考虑 tan A=2，△ABE三边之比为 1: 2 : 5 ， sin ABE 5 5 ，故作 DH⊥AB交 AB于 H点，则 DH 5 5 BD ． 5 问题转化为 CD+DH最小值，故 C、D、H共线时值最小，此时 CD DH CH BE 4 5 ． 【小结】本题简单在于题目已经将 BA线作出来，只需分析角度的三角函数值， 作出垂线 DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下： 则需自行构造 α ，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在． 2. 如图，平行四边形 ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P 为边 CD上的一动点， 则 PB 3 2 PD 的最小值等于 ________． 3 PD °= 3 ，故延长 AD A °，且 ”，已知∠ =60 sin 60 2 2 3 作 PH⊥ AD延长线于 H 点，即可得 PH PD ，将问题转化为： 求 PB+PH最小值． 【分析】考虑如何构造“ ， 2 当 B、P、H 三点共线时，可得 PB+PH取到最小值，即 BH的长，解直角△ ABH即可得 BH长． 3. 如图，已知抛物线 y k x 2 x 4 （k 为常数，且 k>0）与 x 轴从左至右依次 8 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y 3 3 x b 与抛物线的另一 交点为 D． （ 2）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M （ 1）若点 D 的横坐标为 -5 ，求抛物线的函数表达式； 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M在整个运动过程中用时最少 【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案： B（ 4,0 ），直线解析式为 y A（ -2,0 ）， 为 y 3 9 3 x 4 ，D 点坐标为 3 3 35,3 3 ，故抛物线解析式 x 2 x 4 ，化简为： y 3 x2 9 2 3 x 9 8 9 3 ．另外为了突出问题，此 处略去了该题的第二小问． 点 M运动的时间为 1 2 AFDF ，即求 AF 1 DF 2 的最小值． 接下来问题便是如何构造 DF ，考虑 BD与 x 轴夹角为 30°，且 DF方向不变，故 DF FH= ． 2 2 过点 D 作 DM∥ x 轴，过点 F 作 FH⊥DM交 DM于 H 点，则任意位置均有 当 A、F、H 共线时取到最小值，根据 A、 D 两点坐标可得结果． 4. 抛物线 y 6 2 x 6 2 3 x 6 3 与 x 轴交于点 ， （点 A BA 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C．点 P 是直线 AC上方抛物线上一点， PF⊥x 轴于点 F，PF 与线段 AC 交于点 E；将线段 OB沿 x 轴左右平移，线段 OB的对应线段是 O B ，当 PE 1 1 的值最大时，求四边形 PO B C 周长的最小值，并求出对应的点 O 1 1 1 的坐标．（为 1 2 EC突出问题，删去了两个小问） 【分析】根据抛物线解析式得 为： y A 3 2,0 、B 2,0 、C 0, 6 ，直线 AC的解析式 3 3 x 6 ，可知 AC与 x 轴夹角为 30°． 根据题意考虑， P 在何处时， PE EC 取到最大值．过点 E 作 EH⊥y 轴交 y 轴于 H + 2 CEH CH PE CH EC 点，则∠ =30°，故 = 2 ，问题转化为 + 何时取到最小值． 考虑到 PE于 CH并无公共端点，故用代数法计算，设 P m, 6 6 m 2 2 3 m 6 ， 3 3 3 则 E m, m6 3 3 2 ， H 0, 3 3 m6 ， PE 2 6 6 m 2 3m ， CH m ， PE CH 6 m6 4 3 m= 3 6 m 6 2 2 4 6 3 sin ABE 5 5 当 P 点坐标为 2 2, 6 时，取到最小值，故确定 P、 C、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．
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