高二数学椭圆单元测试题

设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)， 同

理

得

x2

＝

－4k2－4k＋2

．…………………………………………………………9

1＋2k2分

因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

8k

y1－y2k(x1＋2)＋k(x2＋2)k(x1＋x2＋4)1＋2k2

故kPQ＝＝＝＝＝1，

x1－x2x1－x2x1－x28k

1＋2k2因

此

直

线

PQ

的

斜

率

为

定

值．……………………………………………………12分

y218. 解：（Ⅰ）设抛物线C2:y?2px(p?0)，则有?2p(x?0)，据此

x2验证4个点知（3，?23）、（4，?4）在抛物线上，易求

C2:y2?4x ………………2分

222xy?2设CC：，把点（2，0）（，）代入得： :??(a?b?0)12222ab?4?12???a2?a?4解得?2 ?21????b?1?1??a22b2

x2∴C1方程为?y2?1…………………………………………………

4

5分

（Ⅱ）法一：

假设存在这样的直线l过抛物线焦点F(1,0)，设直线l的方程为

x?1?my,两交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)，

由

?x?1?my?2?x2??y?1?4消去

x，得

(m2?4)y2?2my?3?0,…………………………7分

∴y1?y2??2m?3,yy? ① 12m2?4m2?4x1x2?(1?my1)(1?my2)?1?m(y1?y2)?m2y1y2

?2m?34?4m22?1?m?2?m?2?m?4m?4m2?4

② ………………………9分

由OM?ON，即OM?ON?0，得x1x2?y1y2?0(*)

4?4m2?3??0， 解得将①②代入（*）式，得

m2?4m2?4m??1…………………11分 2

所以假设成立，即存在直线l满足条件，且l的方程为：y?2x?2或

y??2x?2…………………………………………………………………

…12分

法二：容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；……………………………6分

当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0)，设其方程为y?k(x?1)，与C1的交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)

由

?x2??y2?1?4??y?k(x?1)消掉

y，得

(1?4k2)x2?8k2x?4(k2?1)?0， …………8分

8k24(k2?1)于是 x1?x2?，x1x2? ① 221?4k1?4ky1y2?k(x1?1)?k(x1?1)?k2[x1x2?(x1?x2)?1]

即

4(k2?1)8k23k2 y1y2?k(??1)??2221?4k1?4k1?4k2② ………………………………10分

由OM?ON，即OM?ON?0，得x1x2?y1y2?0(*)

4(k2?1)3k2k2?4将①、②代入（*）式，得 解得k??2；……???0，2221?4k1?4k1?4k11分

所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y?2x?2或

y??2x?2．………12分