1-8高等数学课后习题答案

习题1?8

1? 研究下列函数的连续性? 并画出函数的图形? ?x2 0?x?1 (1)f(x)???

2?x 1?x?2? 解 已知多项式函数是连续函数? 所以函数f(x)在[0? 1)和(1? 2]内是连续的?

在x?1处? 因为f(1)?1? 并且

lim?f(x)?lim?x2?1? lim?f(x)?lim?(2?x)?1?

x?1x?1x?1x?1f(x)?1? 从而函数f(x)在x?1处是连续的? 所以limx?1 综上所述，函数f(x)在[0? 2]上是连续函数? ?x ?1?x?1 (2)f(x)???

?1 |x|?1 解 只需考察函数在x??1和x?1处的连续性? 在x??1处? 因为f(?1)??1? 并且 lim?f(x)?lim?1?1?f(?1)?

x??1x??1 lim?f(x)?lim?x??1?f(?1)?

x??1x??1所以函数在x??1处间断? 但右连续? 在x?1处? 因为f(1)?1? 并且

lim?f(x)?lim?x?1?f(1)? lim?f(x)?lim?1?1?f(1)?

x?1x?1x?1x?1所以函数在x?1处连续?

综合上述讨论? 函数在(??? ?1)和(?1? ??)内连续? 在x??1处间断? 但右连续?

2? 下列函数在指出的点处间断? 说明这些间断点属于哪一类? 如果是可去间断点? 则补充或改变函数的定义使它连续?

2x (1)y?2?1? x?1? x?2? x?3x?22(x?1)(x?1)x?1? 解 y?2? 因为函数在x?2和x?1处无定义? x?3x?2(x?2)(x?1)所以x?2和x?1是函数的间断点?

2xy?lim2?1??? 所以x?2是函数的第二类间断点? 因为limx?2x?2x?3x?2(x?1)y?lim??2? 所以x?1是函数的第一类间断点? 并 因为limx?1x?1(x?2)且是可去间断点? 在x?1处? 令y??2? 则函数在x?1处成为连续的? (2)y?x? x?k? x?k??? (k?0? ?1? ?2? ? ? ?)? tanx2 解 函数在点x?k?(k?Z)和x?k?? ?(k?Z)处无定义? 因而这些

2点都是函数的间断点?

x??(k?0)? 故x?k?(k?0)是第二类间断点? 因xlim?k?tanxx?1? x?0(k?Z)? 所以x?0和 因为limlimx?0tanxx?k???tanx2x?k?? ?(k?Z) 是第一类间断点且是可去间断点? 2 令y|x?0?1? 则函数在x?0处成为连续的?

令x?k?? ?时? y?0? 则函数在x?k?? ?处成为连续的?

22 (3)y?cos21? x?0?

x 解 因为函数y?cos21在x?0处无定义? 所以x?0是函数

xy?cos21的间断点? 又因为limcos21不存在? 所以x?0是函数的第

x?0xx二类间断点?

?x?1 x?1 (4)y??? x ?1?

3 ?x x?1? 解 因为lim?f(x)?lim?(x?1)?0? lim?f(x)?lim?(3?x)?2? 所以x?1

x?1x?1x?1x?1是函数的第一类不可去间断点?

2n1?xx的连续性? 若有间断点? 判别其类 3? 讨论函数f(x)?limn??1?x2n型?

??x |x|?1? 解 f(x)?lim1?x2nx??0 |x|?1?

n??1?x??x |x|?12n 在分段点x??1处? 因为lim?f(x)?lim?(?x)?1?

x??1x??1x??1?limf(x)?lim?x??1? 所以x??1为函数的第一类不可去间断点?

x??1x?1x?1x?1x?1 在分段点x?1处? 因为lim?f(x)?lim?x?1? lim?f(x)?lim?(?x)??1? 所以x?1为函数的第一类不可去间断点?

4? 证明? 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)?0? 则存在x0的某一邻域U(x0)? 当x?U(x0)时? f(x)?0?

证明 不妨设f(x0)>0? 因为f(x)在x0连续? 所以limf(x)?f(x0)?0?

x?x0?由极限的局部保号性定理? 存在x0的某一去心邻域U(x0)? 使当

x?U(x0)时f(x)>0? 从而当x?U(x0)时? f(x)>0? 这就是说? 则存在x0的某一邻域U(x0)? 当x?U(x0)时? f(x)?0?

5? 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子?

(1)x?0? ?1? ?2? ?1? ? ? ?? ?n? ?1? ? ? ?是f(x)的所有间断点? 且它

n2们都是无穷间断点?

解 函数f(x)?csc(?x)?csc?在点x?0? ?1? ?2? ?1? ? ? ?? ?n? ?1? ?

nx2? ?处是间断的

且这些点是函数的无穷间断点?

(2)f(x)在R上处处不连续? 但|f(x)|在R上处处连续? ??1 x?Q 解 函数f(x)??在R上处处不连续? 但|f(x)|?1在R

?1 x?Q?上处处连续?

(3)f(x)在R上处处有定义? 但仅在一点连续?

?x x?Q 解 函数f(x)??在R上处处有定义? 它只在x?0处

??x x?Q连续?