2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1+z（1） 设复数z满足＝i，则|z|＝
1?z(A)1 (B)2 (C)3 (D)2
(2)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝
(A)?3311 (B) (C)? (D) 2222(3)设命题P：?n?N，n2>2n，则?P为
(A)?n?N， n2>2n (B)? n?N， n2≤2n (C)?n?N， n2≤2n (D)? n?N， n2＝2n
(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中
的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 (5)已知M(x0，y0)是双曲线C：
=1 上的一点，F1、F2是C的两个焦点，若
MF1?MF2＜0，则y0的取值范围是
(A)(－
33，) 33 (B)(－
33，) 66(C)(?22222323，) (D)(?，) 3333(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如
下问题“今有委米依垣内角，:下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 (7)设D为ABC所在平面内一点,BC?3CD，则
1414AB?AC (B) AD?AB?AC 33334141(C) AD?AB?AC (D) AD?AB?AC
3333(8)函数f（x）=cos（ωx+?）的部分图像如图所示， 则f(x)的单调递减区间为 (A) AD??A． （kπ﹣，kπ+，），k∈z C． （k﹣，k+），k∈z B． （2kπ﹣，2kπ+），k∈z D． （，2k+），k∈z (9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
（10）(x?x?y)的展开式中，xy的系数为
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何 体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20?，则r＝
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
255212.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a,其中a1,若存在 唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )
333333，1) B. [?,) C. [,) D. [，1)
2e42e42e2e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 A.[?(13)若函数f(x)＝xln(x＋a?x2)为偶函数，则a＝ . (14)一个圆经过椭圆
=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准
方程为 ______________________ .
?x?1?0y?(15)若x，y满足约束条件?x?y?0，则的最大值为 .
x?x?y?4?0?(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 ______________________ .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分) Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，an2?2an?4Sn?3 (Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设 bn?1，求数列anan?1}的前n项和.
(18) (本小题满分12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC＝120°
E E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，
F DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面AFC;
A D (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
C B
(19) (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
x y w 6.8 ?(x?x)ii?182 ?(w?w)ii?182 ?(x?x)(y?y) ?(w?w)(yii88ii?y) i?1i?146.6 563 289.8 1.6 1469 108.8 18表中wi?xi，w??wi
8i?1(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回
归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)…….. (un vn)，其回归线v＝???u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
??n?(u?u)(v?v)iii?1?(u?u)ii?1n,??v??u
2 (20)(本小题满分12分)
x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点.
4(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
(21)(本小题满分12分)
1已知函数f(x)＝x3?ax?,g(x)??lnx .
4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y?f(x) 的切线；
(Ⅱ)用min ?m,n? 表示m，n中的最小值，设函数h(x)?min?f(x),g(x)?(x?0) ，
讨论h(x)零点的个数.
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E． （Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； （Ⅱ）若OA= CE，求∠ACB的大小．
(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线C1: x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为??△C2MN的面积 .
?4???R?，设C2与C3的交点为M，N ，求
(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数
＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I）
理科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 A 6 B 7 A 8 D 9 C 10 C 11 B 12 D 【部分试题解析】 2．【解析】原式?sin20?cos10??cos20?sin10??sin30??1，故选D． 22234．【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C30.6?0.4?0.6=0.648，故
选A．
5．【解析】由题知F1?3,0，F2???x02?y02?1，所以MF1?MF2??3?x0,?y0? 3,0且2????2223?x0,?y0?x0?y0?3?3y0?1?0，解得??33?y0?，故选A． 336．【解析】设圆锥底面半径为r，则
2116?2?3r?8，得r?。所以米堆的体积为4332011320?16?，故堆放的米约为?1.62?22，故选B． ??3????5?9439?3?12．【解析】设g(x)?e(2x?1)，y?ax?a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线
x11y?ax?a的下方．因为g?(x)?ex(2x?1)，所以当x??时，g?(x)?0，当x??时，
221?1g?(x)?0；当x??时，?g(x)?max??2e2．当x?0时，g(0)??1，g(1)?3e?0，直线
2y?ax?a恒过点?1,0?且斜率为a，故?a?g(0)??1，且g(?1)??3e?1??a?a，解得
3?a?1，故选D． 2e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13. 1
3?25?14. ?x???y2?
2?4?215. 3
16.
?6?2,6?2
?
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