第39练 等比数列
[基础保分练]
1.若数列{an}是等比数列，下列命题正确的个数为( ) ①{an}，{a2n}均为等比数列；
?1?
③??，{|an|}成等比数列； ?an?
2
②{lnan}成等差数列； ④{can}，{an±k}均为等比数列
A.4B.3C.2D.1
2.(2019·绍兴模拟)等比数列{an}中，a1>0，则“a1 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1a8＋a9 3.已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则等于( ) 2a6＋a7A.6B.7C.8D.9 4.(2019·金华十校联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是( ) A.若a5>0，则a2017<0 C.若a5>0，则S2017>0 B.若a6>0，则a2018<0 D.若a6>0，则S2018>0 5.(2019·宁波模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为( ) A.12B.9C.16D.18 6.已知数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－a7＝－64，则tan?A.－3B.3C.±3D.－ 3 3 2 ?a4a6π?等于( ) ??3? 7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断一定正确的是( ) A.若S3>0，则a2018>0 B.若S3<0，则a2018<0 C.若a2>a1，则a2019>a2018 11 D.若>，则a2019 a2a1 1 8.公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－2a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1， 2则S4等于( ) A.－5B.0C.5D.7 1 9.(2019·浙江名校联考)将公差不为零的等差数列a1，a2，a3调整顺序后构成一个新的等比数列ai，aj，ak，其中{i，j，k}＝{1,2,3}，则该等比数列的公比为________. ?1?n－1*n10.已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－??＋2(n∈N)，则数列{2an}的前100项的和为 ?2? ________. [能力提升练] 1.(2019·杭州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则数列{nan}的前 n项和为( ) A.－3＋(n＋1)×2 C.1＋(n＋1)×2 nnB.3＋(n＋1)×2 D.1＋(n－1)×2 nn1 2.(2019·浙江杭州二中模拟)各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则 2 a3＋a4 的值为( ) a4＋a5 A.C. 5＋1 21－5 2 B.D. 5－1 2 5＋11－5 或 22 3.(2019·温州模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为( ) A.－3B.1C.－3或1D.1或3 4.(2019·湖州模拟)已知等比数列{an}满足 a4＋a61 ＝，a5＝4，记等比数列{an}的前n项积为a1＋a38 Tn，则当Tn取最大值时，n等于( ) A.4或5B.5或6C.6或7D.7或8 5.已知数列{an}的首项a1＝2，其前n项和为Sn，若Sn＋1＝2Sn＋1，则an＝________. 6.设Sn为数列{an}的前n项和，2an－an－1＝3·2 n－1 (n≥2)且3a1＝2a2，则Sn＋an＝________. 答案精析 基础保分练 1 1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 8.A 9.－或－2 210.5050 2 ?1?n－1?1?n－2 解析 由Sn＝－an－??＋2得，当n≥2时，Sn－1＝－an－1－??＋2， ?2??2??1?n－1 故an＝an－1－an＋??， ?2? 整理得2an＝2 nn－1 an－1＋1，又a1＝，所以{2nan}是首项为1且公差为1的等差数列，故2nan12 101n＝n.数列{2an}的前100项和为1＋2＋3＋4＋…＋100＝×100＝5 050. 2能力提升练 1.D [设等比数列{an}的公比为q， ∵S3＝7，S6＝63， ??∴q≠1，∴?a?? 解得? ?a1＝1，???q＝2， a1 1 －q1－q3 ＝7， 6 －q1－q＝63， 3 ∴an＝2 n－1 ， 2 3 ∴nan＝n·2 －2 n－1 ，设数列{nan}的前n项和为Tn，∴Tn＝1＋2·2＋3·2＋4·2＋…＋(n－1)·2 2 4 n＋n·2 n－1, 2Tn＝2＋2·2＋3·2＋4·2＋…＋(n－1)·2 nnnnn－1 ＋n·2，∴－Tn＝1＋2＋2＋2 nn23 ＋…＋2 n－1 －n·2＝2－1－n·2＝(1－n)2－1，∴Tn＝1＋(n－1)×2，故选D.] 11 2.B [设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q(q>0)，则由a2，a3，a1成等差数列得2× 22 22 a3＝a1＋a2，即a1q＝a1＋a1q，则q＝1＋q，解得q＝ 1＋5a3＋a4a3＋a415－1 ，则＝＝＝， 2a4＋a5a3＋a4qq2 故选B.] 3.C [设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1， 所以Sn＝ a1 －q1－qn＋2 n， ， 2 Sn＋2＝ a1 －q1－q代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q)q＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立， ??4－q＝0，则有? ?3＋3a1－3q＝0，? 2 n 3 ??a1＝1，解得? ?q＝2? ??a1＝－3， 或? ?q＝－2，? 故a1＝1或－3，故选C.] 4.C [方法一 设数列{an}的公比为q，由1n－57－n则q＝，则an＝a5·q＝2， 2从而可得Tn＝a1·a2·…·an＝2 6＋5＋4＋…＋(7－n) a4＋a6113 ＝，得q＝， a1＋a388 ＝＝， 12 所以当(－n＋13n)取最大值时，Tn取最大值，此时n＝6或7，故选C. 2方法二 设数列{an}的公比为q，由 a4＋a61113n－57－n＝，得q＝，则q＝，则an＝a5·q＝2，令a1＋a3882 an＝1，则n＝7，又当n<7时，an>1，当n>7时，an<1，Tn＝a1·a2·…·an，且an>0，所以当n＝6或7时，Tn取最大值，故选C.] ?2，n＝1，? 5.?n－2 ??3·2，n≥2 解析 因为Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1). 因为S1＋1＝3，故Sn＋1≠0，所以 Sn＋1＋1 ＝2，{Sn＋1}是等比数列，公比为2，首项为3，故Sn＋1 Sn＝3·2n－1－1， ??2，n＝1， 所以an＝?n－2 ??3×2，n≥2. n－1 6.3·2 解析 由2an－an－1＝3·2 nan1an－13 (n≥2)，得n＝·n－1＋， 2424 an1?an－1? ∴n－1＝?n－1－1?， 24?2? 由2an－an－1＝3·2且3a1＝2a2， 可得2a2－a1＝6，即2a1＝6，a1＝3. ?an?11 ∴数列?n－1?是以为首项，为公比的等比数列， 24?2? n－1 (n≥2)， an1?1?n－1?1?2n－1 则n－1＝·??＝??， 22?4??2? ∴an＝2(2 n1－2n＋1)＝2 1－n＋2， n 4 ?1?1×?1－n?1??2??1123n∴Sn＝?1＋＋2＋…＋n－1?＋(2＋2＋2＋…＋2)＝＋2?1?22 1－2 ∴Sn＋an＝3·2. n－21－2 n＝2·2－2 n1－n. 5
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