专项强化练(十) 空间几何体
A组——题型分类练
题型一 平面及其基本性质
1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．
解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立． 答案：充分不必要
2．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．
解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a?α，b?
β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．
答案：① [临门一脚]
1．四个公理，三个推论要记清楚；公理3以及三个推论都是用来判定是否共面的依据． 2．因为两直线没有公共点包含两种情况：平行和异面. 所以不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．
题型二 空间中的平行与垂直
1．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为________．
解析：直线l在平面α外指：l∥α或直线l与平面α仅有一个交点． 答案：①③
2.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝与平面BDC的位置关系是________．
解析：因为＝，所以MN∥BD， 又MN?平面BCD，BD?平面BCD， 所以MN∥平面BDC. 答案：平行
AMAN，则直线MNMBNDAMANMBND3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的序号是________．
①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β；②若m∥n，m?α，n?β，则α∥β；③若m∥n，
m⊥α，n⊥β，则α∥β；④若m∥n，m∥α，则n∥α.
解析：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，所以①错误；两个平面内的两条直线平行，这两个平面不一定平行，所以②错误；两个平面同时垂直于两条平行直线，这两个平面平行，所以③正确；两条平行直线中的一条平行于一个平面，另一条不一定平行于该平面，所以④错误．
答案：③
4．(2018·南京高三模拟)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若l⊥α，l⊥β，则α∥β；②若l⊥α，α⊥β，则l∥β； ③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β. 其中的真命题为________(填所有真命题的序号)．
解析：若l⊥α，l⊥β，则α∥β，①正确；若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l?β，②错误；若l∥α，l⊥β，则α⊥β，③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β的位置关系不确定，可能平行、相交或l?β，④错误．故真命题为①③.
答案：①③
5.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
解析：①AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC?平面PAC，PA?平面PAC?
BC⊥平面PAC?AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，AE?平面AEF，AF?平
面AEF?PB⊥平面AEF?EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．
答案：①②④ [临门一脚]
1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化：
2．与平行、垂直有关的命题真假判定要注意所给命题与定理之间的关系，经常会出现
条件缺失， 这类题其实质为多项选择，主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、多选、错选．如线面平行中“线在平面外”不能遗漏，线面垂直中两条直线必须相交不能遗忘．
题型三 空间几何体的表面积和体积
1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为________． 解析：S底＝6×＝48(3＋3)．
答案：48(3＋3)
2．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________． 解析：如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB＝2，PA＝3， 1
设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO＝AC＝2.
2在直角三角形POA中，PO＝PA－AO＝1. 114
所以VP-ABCD＝·S四边形ABCD·PO＝×4×1＝.
3334
答案：
3
3．(2018·盐城高三模拟)若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为________．
解析：设圆锥的母线长为l，高为h，则π×1×l＝3π×1，l＝3，则h＝ 3－1＝122π2
22，故该圆锥的体积V＝π×1×22＝.
33
22π
答案：
3
4．(2018·南京四校联考)已知在三棱锥SABC中，△SAB，△SBC，△SAC都是以S为直角顶点的等腰三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥SABC的内切球的半径为________．
解析：由题意知，SA＝SB＝SC.设SA＝SB＝SC＝a，则2a＝2，a＝1.设三棱锥SABC的内切球的半径为r，则由等体积法可得，VSABC2
2
2
2
2
32
×4＝243，S侧＝6×4×6＝144，所以S表＝S侧＋2S底＝144＋4834
1116
＝××1×1×r×3＋××2×r＝VA3222
SBC1?13－33－3?＝×?×1×1?×1，解得r＝，即三棱锥SABC的内切球的半径为. 3?266?
3－3答案： 6
5.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，
当∠APC最大时，三棱锥P-ABC的体积为________．
解析：连结BD交AC于点O，连结PO，则∠APC＝2∠APO， ∵tan ∠APO＝，
∴当PO最小时，∠APO最大， 即PO⊥BD1时，∠APO最大．
1
如图，作PE⊥BD于点E，此时PB＝BD1，∴三棱锥P-ABC的高为
311
点P到平面ABCD的距离PE＝，∴三棱锥P-ABC的体积V＝S△ABC·PE331111
＝××＝. 32318
1
答案： 18[临门一脚]
1．涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，分析几何体的结构特征，选择合适的公式，进行计算．
2．另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用．
3．图形的展开、折叠、切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优势，解决此类问题的关键是弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系，并分析清楚变化前后点、线、面的位置变化．
4．锥体和柱体公式要记清楚，不能混淆．
B组——高考提速练
2π
1．(2019·泰兴中学模拟)用半径为3 cm，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥筒，
3则这个圆锥筒的体积为________cm.
2π
解析：设圆锥筒的底面半径为r cm，母线长为l cm，则l＝3，×3＝2πr，所以r3122222
＝1，所以这个圆锥筒的高h＝l－r＝3－1＝22(cm)，所以这个圆锥筒的体积为πrh312223＝×π×1×22＝π(cm)． 33
22π答案： 3
2．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题： ①若b?α，c∥α，则b∥c；
3
AOPO
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