山东省实验中学2019届高三第一次诊断性考试 数学(理)

（III）证明：

ln2ln3lnnn?n?1?????????N?N?且n?2?. 34n?14山东省实验中学2019届高三第一次诊断性考试

数学（理科）参考答案 2019．9

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分） 1-10 DDAAC BA CAC

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11.

1215?1 12．3 13. 14.3 15. 922三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16. （本小题满分12分）

cosC2sinA?sinC?,cosBsinB解：（I）由已知即cosCsinB??2sinA?sinC?cosB,

sin?B?C??2sinAcosB,

sinA?2sinAcosB, …………………………………………………4分

△ABC中，sinA?0，故cosB?（Ⅱ）由（I）B?1?,B?. ……………………………6分 23?, 322222因此b?a?c?2accosB?a?c?ac ………………………………9分 2由已知b??a?c??3ac?4?3ac ……………………………………10分

2?a?c? ?4?3???4?3?1 ……………………………………11分

2??

故b的最小值为1. ………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）试验至多持续一个接种周期的概P?????1=2143144331139375分????4444166464 …

·5·

（Ⅱ）随机变量??1,2,3,设事件C为“在一个接种周期内出现2次或3次Z症状”，则

135313P(??1)?P(C)?C32()2??C3()?,4443255135P(??2)?[1?P(C)]?P(C)?(1?)??,

32321024729P(??3)?[1?P(C)]?[1?P(C)]?1?,9分1024·6·

所以?的分布列为：

? 1 2 3 P 5 32135 102412分

729 1024 .................................................... 10分 ?的数学期望E??1?51357292617?2??3??.3210241024102418. (本题满分12分)

（1）由已知S2?2a2?2① ，S3?a4?2②，

①-②得a3?a4?2a2即q2?q?2?0 ……………………2分

q?0?q?2 ……………………3分

S2?2a2?2,?a1?a2?2a2?2?a1?a1q?2a1q?2?a1?2 ……………5分

又

?an?2n ……………………6分

n（2）由（1）知bn?n……………7分

2123n?1nTn??2?3?......?n?1?n

22222

1123n?1nTn?2?3?4?......?n?n?1.................9分 222222

错位相减

111111nTn??2?3?4?......?n?n?1............11分 2222222

Tn?2?

n?2.....................12分 n219．（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，

1DC， ??21正方形ABCD中E为AB中点，∴AE//DC，∴AE//MF，

????2在△PCD中，F为PC的中点，∴MF//故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM， 又∵EF?平面PAD，AM?平面PAD，

∴EF∥平面PAD； …………4分 （Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下： 如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，

·7·

则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，

111，0），F（，，1），……5分 222由题易知平面PAD的法向量为n=（0，1，0）， …………6分 假设存在Q满足条件：设EQ??EF， …………7分 ∵EF?(,0,1)，∴Q?(12?1?1,,?)，AQ?(,,?)，λ∈， 2222设平面PAQ的法向量为??(x,y,z)，

??由??x?1y???22z?0，可得??(1,??,0)，?z?0∴cos?m,n??m?n??|m||n|?1??2， 由已知：??1??2?55，解得：??12， 所以满足条件的Q存在，是EF中点． 8·

…………9分 …………10分 …………11分

…………12分

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