二次函数与几何图形综合型专题
?山东 石少玉
一、探究线段及最值问题
这类问题主要有以下几种考查方式：①线段的和或差是定值；②线段定长；③求几条线段和或差的最值.涉及的知识点主要有：两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形的三边关系；将军饮马问题等. 例1 （2018?莱芜）如图，抛物线y=ax+bx+c经过A（-1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
3?a??,?4?a?b?c=0，?9??2解：（1）将A（-1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax+bx+c，得 ?16a?4b?c=0，解得?b?, 4?c=3，???c?3.??∴抛物线的解析式为y=-329x+x+3. 44（2）设直线BC的解析式为y=kx+n， 3?k??,?4k?n=0，?将B（4，0），C（0，3）代入y=kx+n，得? 解得?4 ?n=3.??n?3.∴直线BC的解析式为y=-设D（a，-3x+3， 43293a+a+3）（0＜a＜4），如图1，过点D作DM∥y轴，交BC于点M，则M（a，-a+3）， 444329332∴DM=-a+a+3-（-a+3）=-a+3a. 4444∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC， ∴△DEM∽△BOC. ∴DEOB=. DMBC
∵OB=4，OC=3， ∴BC=5. 4DM. 532123212∴DE=-a+a=- （a-2）+. 555512当a=2时，DE有最大值，最大值是. 5∴DE=
（3）假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等. ∵点F为AB的中点， ∴OF=3OC，tan∠CFO==2， 2OF如图2，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于点G，过点G作GH⊥x轴，垂足为H. ①若∠DCE=∠CFO， ∴tan∠DCE=GB=2， BC∴BG=10， 易得△GBH∽BCO， ∴GHHBGB==. BOOCBC∴GH=8，BH=6. ∴G（10，8）. 由C（0，3），G（10，8）可得直线CG的解析式为y=1x+3. 21?y?x?3,?7?2∴ ?解得x1=，x2=0（舍去）． 3?y??3x2?9x?3，??44②若∠CDE=∠CFO， 同理可得BG=∴G（53，GH=2，BH=， 2211，2）. 22x+3， 11同理可得，直线CG的解析式为y=-2?y??x?3,?107?11∴ ?解得x1=，x2=0（舍去）. 3933?y??x2?x?3，??44综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，此时点D的横坐标为7107或 ． 333
例2（2018?贺州）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c交x轴于A，B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（-1，4）． （1）求A，B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B，D两点间的一个动点（点P不与B，D两点重合），PA，PB与直线DE分别交于点F，G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
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解：（1）由抛物线y=ax+bx+c交x轴于A，B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0）.
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（2）将（-3，0），（1，0），（0，3）代入y=ax+bx+c，得
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?9a?3b?c?0,?a??1,???a?b?c?0,解得?b??2, ?c?3,?c?3.??∴抛物线的解析式为y=-x-2x+3.
（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下： 过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，如图2．
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设P（t，-t-2t+3），
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∴PQ=-t-2t+3，AQ=3+t，QB=1-t. ∵PQ∥EF，
∴△AEF∽△AQP， ∴ 2
EFAE?. PQAQ2PQ?AE?t?2t?3?2∴EF===2（1-t）. AQ3?t??又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP， ∴ EGBE?. PQBQ2PQ?BE?t?2t?3?2∴EG===2（t+3）. BQ1?t??∴EF+EG=2（1-t）+2（t+3）=8．
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