第六章 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理（第一课时）余弦定理
教学设计
一、教学目标
1. 借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系。 2. 掌握余弦定理。
3. 能用余弦定理解决简单的实际问题。 二、教学重难点 1. 教学重点 余弦定理及其应用。 2. 教学难点 余弦定理的应用。 三、教学过程 1. 新课导入
我们知道，两边和它们的夹角相等的两个三角形全等。这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，表示的公式是什么？ 2. 探索新知
在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，根据课本P42的推理证明过程，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理：
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即a2=b2+c2－2bccosA，
b2=c2+a2－2accosB， c2=a2+b2－2abcosC。
利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边。由余弦定理，可以得到如下推论：
利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角。
从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式。 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cosC=0。由余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理。由此可见，余弦定理就是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 3. 课堂练习
1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( ) A．30° C．120°
B．60° D．150°
答案：B [∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc，
b2＋c2－a21∴cos A＝＝，∴A＝60°.]
2bc2
13
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是( )
141A．－
51C．－
7
1B．－ 61D．－
8
13
答案：C [由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，
14b2＋c2－a272＋32－821
所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－.]
2bc72×7×3
c2－a2－b2
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )
2abA．一定是锐角三角形 C．一定是钝角三角形
B．一定是直角三角形 D．是锐角或直角三角形
c2－a2－b2
答案：C [由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角
2ab形．]
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( ) 4A． 3C．1
B．8－43 2D． 3
答案：A [由 (a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°4＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.]
3
5．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( ) A．1 B．1 答案：C [若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<5，若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>3，故3 6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________． 答案：0 [∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120° ＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.] 2π 7．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝，则a＝________． 3答案：1 [∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴(3)2＝a2＋12－2a×1×cos ＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.] 4. 小结作业 小结：本节课学习了余弦定理及其推论。 作业：完成本节课课后习题。 四、板书设计 6.4.3 余弦定理、正弦定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 即 a2=b2+c2－2bccosA， b2=c2+a2－2accosB， c2=a2+b2－2abcosC。 推论： 2π ，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)3
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