15.1 二次根式
知识点1二次根式的概念(重点)
一般地，把形如a(a?0)的式子叫做二次根式．如6，次根式．
提示：对二次根式概念的理解应注意以下四点： (1)二次根式中都含有二次根号“”；
1，16，a2?1等都是二3 (2)在二次根式中，被开方数a必须满足“a≥0，当a＜0时，式子a不叫二次根式； (3)在二次根式中，a可以是一个数也可以是含字母的代数式； (4)二次根式a(a≥0)是a的算术平方根，所以a≥0． 其中，(1)(2)是二次根式具备的两个重要特征．
例1 下列各式，哪些是二次根式?哪些不是二次根式?说明理由． (1)6；(2)?18；(3)(?5)2；(4)3?8；(5) 解：因为6，(?5)2?25，是二次根式．
因为?18被开方数－18＜0，所以?18不是二次根式． 因为3?8不含“点拨
要判断一个式子是不是二次根式，必须符合含有“件，只有同时满足这两个条件才是二次根式．
知识点2 二次根式的三个性质(难点)
★a≥0(a≥0)，即一个非负数的算术平方根是一个非负数． ★(a)2?a(a?0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身． ★a2=a???a(a?0),，即一个任意数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值．
?a(a?0)?11??5611?． 561中都含有“30”且被开方数大于0，所以
”，所以3?8不是二次根式．
”且被开方数是非负数这两个条
总结：(a)2与a2的性质的区别与联系如下表所示．
1
?3?2例2 计算(1)?；(2)(?23)2；(3)(?7)2；(4)?(?)2． ??4?5??2分析：(1)(2)题可利用性质(a)2?a(a?0)进行计算；(3)(4)题可利用性质
?a(a?0),a2=a??进行计算．
??a(a?0)?3?3解：(1)?；(2)(?23)2?(?2)2?(3)2?4?3?12； ???4?4??2(3)(?7)2??7?7；(4)?(?)2???注意
2522=-． 55当a?0时，(a)2?a，而a2=a??知识点3 积的算术平方根
?a(a?0),
?a(a?0).?★积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因数的算术平方根的积，即a?b?a?b(a?0,b?0).
注意：(1)a，b满足的条件是a≥0，b≥0．要防止出现错误．
??4????9???4??9这样的(2)这个性质可推广，即abc???n?a?b?c? ??? ?n(a,b,c,???,n?0)．
2
例3 化简：(1)300；(2)14?112；(3)2
2
??16????19?．
2
2
2
分析：(1)300=3×10；(2)14×112=2×7×4；(3)(－16)×(－19)=16×9=4×3． 解：(1)300?3?102?3?102?103．
(2)14?112?2?72?42?2?72?42?2?7?4=282． (3)点拨
如果没有特殊说明，本章中根号内所有字母均表示正数．所有符合a?b?a???16????9??16?9?42?32?42?32?4?3?12．
?ba0?,对于第(3)个式子，先利用同号得正，b?0这个公式的可直接应用公式．?化为两个正因数积的形式，再利用公式计算．
知识点4 商的算术平方根的性质(难点)
★商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即a?bab(或a?b?a?b)(a?0,b?0)．
ab(a?0,b?0)中a必须是非负数，b必须是正数才成立，如果a，b?9??16?9?16注意：(1)在都是负数，虽然
?9??16a?ba有意义，但是a、b在实数范围内无意义，如b，而
993a??．若b?0，则无意义． 164b161必须先化成49，注意4(2)如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如2211?2?． 44例4 化简：(1)5481?12512154；(2)；(3)；(4)． 91441636a?bab(a?0,b?0)来化简，但要注意当被开方数是带分数时，
分析：这类题可直接用应先把它化成假分数．
解：(1)5(3)点拨
4?949?9499?781?12581?25?59?5?5155???；(2)；
31441241446?9?66?96=． 62121121115454??；(4)??164361636当被开方数中出现不完全平方数时，先把这个数分解因数．如：54=6×9． 知识点5 最简二次根式(重点)
3
★一般地，如果一个二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式．
★将二次根式化成最简二次根式的步骤：(1)根号下有带分数或小数的要把根号下的带分数化成假分数，小数化成分数；(2)被开方数不是完全平方数时，看能不能先进行因数分解，能分解的先分解因数；(3)将被开方式中开得尽方的因数，用它的算术平方根代替后移到根号外；(4)化去分母中的根号，如果根号内的分母是一个平方数，可直接利用商的算术平方根的性质，分子、分母分别开方；如果分母不能开得尽方，则被开方数中的分子、分母同乘一个适当的不为零的数，使分母成为一个平方数，其根据是分式的基本性质；(5)约分．
例5 下列各式中是最简二次根式的是( ) A．1 3 B．8 C．6
D．(?4)2?3 2
2
解析：A中被开方式含有分母；B中含有能开方的8；D中含有(－4)即4，可以开方，C中的6不能分解为能开方的因数，故选C． 答案：C 点拨
判断所给式子是否为最简二次根式，必须同时考虑两个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．两者缺一不可．
例6 把下列各式化为最简二次根式： (1)351；(2)40.125；(3)49?64；(4)90?4． 122a?bab(a?0,b?0)化简；(2)先把0.125化为
分析：(1)应用
1，再化简；(3)应用8a?b?a?b(a?0,b?0)化简；(4)应用a?b?a?b(a?0,b?0)化简．
解：(1)355?12360?3??1212?12124?1521515??； 442(2)40.125?4(3)11?22?4?4??2； 88?241149?64??22?149?64??7?8?28；
2?(4)90?4?90?4?9?10?2?9?10?2?点拨
310． 2(1)在对二次根式进行化简时，如果被开方数是一个整数，一般先将被开方数写成一个平方数与另一个数的积的形式；(2)当被开方数是带分数时应化为假分数；(3)在二次根式化
4
简时，当被开方数是一个分数时，分子开出来的还是分子，分母开出来的还是分母；(4)二次根式无论是计算还是化简，结果必须化为最简形式．
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