2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．

?1?cosx,x?0?（1）若函数f(x)??在x?0处连续，则（） ax?b,x?0?(A)ab?

（2）设函数f?x?可导，且f?x?f??x??0则（） (A)f?1??f??1? (B) f?1??f??1? (C)f?1??f??1? (D)f?1??f??1?

（3）函数f?x,y,z??xy?z在点?1,2,0?处沿向量n?1,2,2?的方向导数为（）

2211 (B)ab?? (C)ab?0 (D)ab?2 22(A)12 (B)6 (C)4 (D)2

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线v?v1?t? （单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线v?v2?t?，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位:s）,则（） (A)t0?10 (B)15?t0?20 (C)t0?25 (D)t0?25

v(m/s)1020051015202530t(s)

（5）设?为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（） (A) E???不可逆 (B) E???不可逆 (C) E?2??不可逆 (D)E?2??不可逆

TTTT?200??210??100???????（6）已知矩阵A?021 B?020C?020，则（） ??????????001???001???002??(A) A与C相似，B与C相似 (B) A与C相似，B与C不相似 (C) A与C不相似，B与C相似 (D) A与C不相似，B与C不相似

（7）设A,B为随机事件，若0?P(A)?1,0?P(B)?1,则PAB?PAB的充分必要条件是（）

A.PBA?PBA BPBA?PBA C. PBA?PBA D. PBA?PBA

????????????????????1n（8）设X1,X2......Xn(n?2)来自总体 N(?,1)的简单随机样本，记X??Xi

ni?1则下列结论中不正确的是（） (A) ?(Xi??)2服从?分布 (B) 2(Xn?X1)2服从?分布 (C)

22?(Xi?1ni?X)2服从?2分布

22(D) n(X??) 服从?分布

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

f(x)?（9） 已知函数

1(3)1?x2 ,则f(0)?__________

（10）微分方程y???2y??3y?0的通解为y?__________

（11）若曲线积分

xdx?aydy在区域D?22?x?y?1Ln?1 ??x,y?x2?y2?1内与路径无关，则a? ?（12）幂级数

???1?n?1?nxn?1在区间（-1,1）内的和函数S(x)?

?1?（13）设矩阵A?1???00111?2??，?1,?2,?3为线性无关的3维列向量组，则向量组1??A?1,A?2,A?3的秩为

（14）设随机变量X的分布函数为F?x??0.5??x??0.5??态分布函数，则EX=

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分）

?x?4??，其中??x?为标准正

?2?d2ydy设函数f?u,v?具有2阶连续偏导数，y?f?e,cosx?,求 ， 2dxx?0dxx

x?0

（16）（本题满分10分） 求lim

（17）（本题满分10分）

已知函数y?x?由方程x?y?3x?3y?2?0确定，求y?x?得极值

33k?k?ln?1?? ?2n?k?n?k?1nn

（18）（本题满分10分）

f(x)在?0,1?上具有2阶导数，f(1)?0,lim?x?0f(x)?0 x证（1） 方程f(x)?0在区间(0,1)至少存在一个根

（2） 方程f(x)?f??(x)??f?(x)??0 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根

（19）（本题满分10分） 设薄片型物体S是圆锥面 Z?2x2?y2 被柱面Z2?2x 割下的有限部分，其上任一点

222弧度为u(x,y,z)?9x?y?z。记圆锥与柱面的交线为C

（1）求C在 xOy 平面上的投影曲线的方程 （2）求 S 的质量M

（20）（本题满分11分）

设3阶行列式A?(?1,?2,?3)有3个不同的特征值，且?3??1?2?2 （1）证明r(A)?2

（2）如果???1??2??3求方程组Ax?b 的通解 （21）（本题满分11分）

设f(x1,x2,x3)?2x1?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正交变换x?Qy下的标准型为

2 求 a的值及一个正交矩阵 Q. ?1y12??2y2222（22）（本题满分11分）

设随机变量X，Y互独立，且 的概率分布为P?X?0??P?X?2??1，Y概率密度为2?2y,0?y?1 f?y????0,其他(1)求P?Y?EY? (2)求Z?X?Y的概率密度 （23）（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量?是已知的，设n次测量结果x1,x2,,xn相互独立，且均服从正态分布N??,?2?，该工程师

记录的是n次测量的绝对误差zi?xi??,?i?1,2,(I)求

,n?，利用z1,z2,,zn估计?

z1的概率密度

(II)利用一阶矩求?的矩估计量 (III)求?的最大似然估计量