一个数学后进生的个案研究

不高．另外，他一直不能端正对待作业和对待数学计算的态度，作业不订正，计算出错，这些都使他的积极性和成绩不成正比．随着时间的推移，他越来越焦虑，也越来越灰心，感到自己无力应付那么多学科，于是开始放弃．由于他的学习自觉性和学习能力都不足以支持他独立学习，所以老师放手让他自己学习的结果就是放松学习．

3 数学学习困难的原因分析

下面就智力因素和非智力因素2个方面对该生在以上4个阶段中数学学习上所暴露出来的问题进行分析．

3.1 智力因素 基于戴斯等人提出的PASS智力模型：智力有3个认知功能系统[1]：

（1）注意——唤醒系统，（2）同时——继时编码加工系统，（3）计划系统，本文将数学学习的智力因素分成3个方面：注意、数学思维、元认知．

3.1.1 注意 注意是心理活动对一定对象的指向和集中．在智商测试中该生注意力的得分是最低的．在学习中主要有以下欠缺：

（1）注意的选择性有误．在听课或是在自己的复习、解题中，注意力往往集中在解题步骤上，而忽视概念的形成过程，概念间的联系，以及解题的正确性、合理性和完备性．

（2）注意不稳定．蚊虫叮咬引起的微小身体反应也会严重干扰他的学习；在辅导阶段，他多次在听讲时将思维跳到其它地方，可想而知他在自己学习时分心的情形会更多．

（3）注意的保持时间不长，容易产生疲劳感．在辅导中发现，

如果知识复习的密度比较大，或者他十分努力地在理解知识内容或解题时，很容易头昏、头疼．

（4）注意力不能及时转移．上课听讲时，一旦遇到某处没听懂，他会产生恐慌，导致注意力停顿，不能随课堂节奏进行下去．

3.1.2 数学思维

（1）人类思维活动中，分析和综合是最基本的，其它如比较、抽象、概括和具体化等等，都从属于分析、综合过程[2]．它们对于改进和完善数学认知结构十分重要．后进生“不会学习”，在很大程度上是由于对数学材料缺乏分析、综合过程：知识经过了大脑，却没有被整合到原有的认知结构中，即没有成为自身的知识．这就导致他常常处于以为自己懂了却没有真正弄懂或根本没懂的状态．在概念学习中该生的“懂”只是停留在某些定义、定理字词表面，遇到有难度的题目，就会使他认为“懂”的概念土崩瓦解． 复习实系数一元二次方程的解，他能够讲出解的3种情况，也能解不少关于共轭虚根的题．但面对问题：“当a>1时，方程x2＋2x＋a＝0有2个根a、b，求ba+的值．”他一点也不知道如何入手．笔者问他这2个根是实根还是虚根，他最初想到韦达定理，后来才想起判别式．当我引导他得到：a>1蕈?0后，说“瞧，这是一对共轭虚根”时，第4期 倪桓华：一个数学后进生的个案研究 29 他冒出一句：“你怎么知道是一对共轭虚根，为什么不可以一个实根一个虚根？”由此可见，在他头脑中构建的概念，就像是颤颤巍巍的积木，一有风吹草动就要倒塌．当他知道这是一对“共轭虚根”后，这个概念对他也仅是4个字，想不到

ab=，想不到aba=2，也想不到设a=x＋yi，b=x－yi（x、y∈R）．

（2）克鲁捷茨基的研究发现[3]：以前建立的方法对能力平常的学生有束缚作用，思维会习惯地回到已建立的模式上．计算： i5)i3)(i2123()i22)(i43(-+-+ 时，笔者发现该生要算很长时间．原来他是先运算再求模，问他为什么不用模的运算性质（在一小时前笔者指导他看了这条性质的证明及应用）．他辩解说这道题的运算并不繁．通过这道题他表示理解了模的运算性质，也体会到了用这条性质的好处．但过了2天，解“若 1274)i1()i31()i1(---+=z， 则|z|＝？”时，思维定势使他仍固执地先运算，后求模．

（3）数学记忆能力欠缺．研究发现该生的记忆类似于情节记忆：以事物的经历顺序，甚至时间、地点记忆．情节记忆如果不辅之以对内容的分析、综合，会成为机械记忆．该生一方面，不善于借助于图形思维．例如：他复习指数、对数函数后，第二天能复述出2者的主要性质，甚至还能说出课本中指数函数是由怎样的例题引入的，但却画错了指数、对数函数的图像．另一方面，不善于辨别、概括，导致错误记忆．例如：他在复习了不等式的性质后，把不等式的加法性质说成：a>b，b>c轪＋b>b＋c，并肯定地说：“书上就是这样写的．”后来才发现把不等式中与加法有关的2个性质：a>b轪＋c>b＋c和a>b，c>d轪＋c>b＋d混淆起来了．

3.1.3 元认知 董奇、周勇等人（1995）的研究表明[4]：研究者提出的学生自我监控学习能力的8种构成成分（计划性、准备性、意识性、方法性、执行性、反馈性、补救性和总结性）是合理的．随着

儿童年龄的增长，自我监控能力对儿童学习效果的影响也表现得越来越明显．在本研究中发现，该生元认知的发展比较慢，在执行性、方法性、反馈性、补救性方面表现都比较差．

（1）有计划，没有行动． 高一上学期结束后因为考试成绩极差，他痛下决心，要在寒假预习高一下学期的数学和英语．可一个寒假什么也没预习，还有3天就要开学，连寒假作业还没有全部完成．所以尽管要求上进，也想改变自己的现状，但是计划不切自身实际，而且执行性差．

（2）缺乏问题解决的认知策略． 解数学问题一般分4个步骤：审题、建立解题方案、实施、回顾．该生做题时往往不先考虑解题方案．如：“判断方程 0)i1()i1(2=+-+-mxx（m∈R） 根的情况：（A）2个实根；（B）一个实根，一个虚根；（C）一对共轭虚根；（D）2个虚根．”他列出2根之和，2根之积，又“刷刷”划掉．想了一会儿，把划掉的重新写出来，后来又划掉．我问他为什么要写韦达定理，他说：“不知道．”后又说：“这是二次方程．”

（3）缺乏反馈与补救意识． 他不会主动对自己的学习及效果进行检查、反馈与评价，自然谈不上主动补救．他非常忽视作业订正，后来暴露了真实想法：“作业做完了，就不愿再去看一眼．”他考试成绩极差，却在寒假做出预习计划，而不是补救计划．

3.2 非智力因素 在与该生接触的过程中，发现他在数学学习中所暴露出来的很多现象都可以归为缺乏学习动机和学习态度差．

（1）学习动机． 从目标指向看，学生的学习动机可分为3类：