第五单元 四边形
第20讲 多边形
命题点 多边形及其内角和、外角和
1．(2017·河北T16·2分)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是(C)
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
2．(2015·河北T19·3分)平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝24°．
3．(2018·河北T19·6分)如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作90°1
出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45°是360°(多边形外角和)的，这样就恰好可作出两个
28边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．
图2中的图案外轮廓周长是14；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是21． 4．(2016·河北T22·9分)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 解：(1)甲对，乙不对．理由：
∵θ＝360°，∴(n－2)×180＝360.解得n＝4.
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∵θ＝630°，∴(n－2)×180＝630.解得n＝.
2∵n为整数，∴θ不能取630°. ∴甲对，乙不对． (2)依题意，得
(n－2)×180＋360＝(n＋x－2)×180. 解得x＝2.
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重难点 多边形的内角和与外角和
在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°.
(1)这个多边形的边数为9；
(2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是1__080°或1__260°或1__440°．
【思路点拨】(1)由这个多边形的各个内角、外角均相等，可以用内角与相邻外角互补建立方程来求得外角，再由外角和等于360°求边数；(2)一个多边形切去一个角，这个角有三种位置：一是过两个顶点，二是过一个顶点及边上任一点，三是过相邻两边的任意两点，进而得到剩下多边数的边数，再利用多边形的内角和公式来求解．
【变式训练1】如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是(B)
A．①② 方法指导
1．从多边形(边数大于3)剪下一个角，得到图形的边数可能比原图形边数大1或相等或小1. 2．一个多边形，若边数增加1，则内角和增加180°.
易错提示多边形剪下一个角，有三种情况，容易忽略丢掉其他情况．
【变式训练2】(2018·河北模拟)在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.
(1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；
(2)是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由． 解：(1)设这个外角的度数是x°.由题意，得 (5－2)×180－(180－x)＋x＝600.解得x＝120. 故这个外角的度数是120°.
(2)存在．设这个多边形的边数为n，这个外角的度数是x°.由题意，得 (n－2)×180－(180－x)＋x＝600. 整理，得x＝570－90n.
∵0＜x＜180，即0＜570－90n＜180.
11解得4 33 又∵n为正整数，∴n＝5或n＝6. 当n＝6时，x＝30. 故这个多边形的边数是6，这个外角的度数为30°. 方法指导本题注意隐含条件的挖掘，即邻补角和为180°及凸多边形的一个内角是小于平角的角．Ｋ 1．(2018·云南)一个五边形的内角和为(A) A．540° B．450° C．360° D．180° 2．(2018·呼和浩特)已知一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形是(B) A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 3．(2018·北京)若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为(C) A．360° B．540° C．720° D．900° 2 / 4 B．①③ C．②④ D．③④ 4．(2018·河北模拟)连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了4个三角形，则原多边形是(C) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 5．(2018·济宁)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P＝(C) A．50° B．55° C．60° D．65° 6．(2018·石家庄模拟)有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为(B) A．144° B．84° C．74° D．54° 提示：∠ADE是四边形ADEB的一个内角． 7．(2018·宿迁)若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是8． 8．(2018·上海)通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是540度． 9．(2018·山西)图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360度． 10．一个机器人以0.2 m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为80__s． 11．(2018·河北模拟)如图，多边形ABCDEF与AGHEMN都是正六边形，则∠FAN的度数为(C) A．15° B．20° C．30° D．45° 12．(2018·河北模拟)边长均为1的等边三角形和正六边形按如图所示摆放，正六边形保持不动，等边三角形依次绕正六边形的顶点，按顺时针方向，经过六次旋转，在正六边形边上旋转一周，M为正六边形的顶点，N为等边三角形的顶点，则在旋转过程中，M，N两点的距离一定不能是(D) A．1.9 B．2.1 C．2.9 3 / 4 D．3.1 13．(2017·河北模拟)看图回答问题： (1)内角和为2 018°，佳佳为什么说不可能？ (2)音音求的是几边形的内角和？ 解：(1)∵n边形的内角和是(n－2)·180°， ∴内角和一定是180°的倍数． ∵2 018÷180＝11……38， ∴内角和为2 018°不可能． (2)设漏加的内角为x°，依题意，得 (n－2)·180＝2 018＋x， ∴x＝180n－2 378. ∵90＜x＜180，∴90＜180n－2 378＜180. 解得133245＜n＜1419 90，且n为整数． ∴多边形的边数是14. 故音音求的是十四边形的内角和． 4 / 4
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