《数学分析》教案
推论 在Th.7的条件下 , 对
, 有
2. 可微性: 积分号下求导定理.
Th 19.8 设函数
在
则函数
在
和 在 上收敛, 积分
上连续. 若积分
在 .
一致收敛.
上可微,且
3. 可积性: 积分换序定理.
Th 19.9 设函数
在
在
上一致收敛, 则函数
.
上连续. 若积分
在
上可积 , 且有
例3 计算积分
P186
四. 含参瑕积分简介:
§ 3 Euler积分
本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即 和 . 它们
统称为Euler积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.
一. Gamma函数 —— Euler第二型积分：
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《数学分析》教案
1. Gamma函数: 考虑无穷限含参积分
,
当 时, 点 来讨论其敛散性 .
还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为
:
时为正常积分 .
时, .利用非负函数积的
时积分
Cauchy判别法, 注意到收敛 . (易见
收敛 .
时, 仍用Cauchy判别法判得积分发散 ). 因此, 时积分
: 对 综上 ,
对
R成立,.因此积分
R收敛.
收敛 . 称该积分为Euler第二型积分. 内的一个函数, 称该函数为Gamma函数,
时积分
Euler第二型积分定义了 记为 , 即
=,
.
函数是一个很有用的特殊函数 .
2. 函数的连续性和可导性:
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《数学分析》教案
在区间
内非一致收敛 . 这是因为
时积分发散. 这里利
发散,
用了下面的结果: 若含参广义积分在 则积分在
但 内非一致收敛 .
内收敛, 但在点
在区间 内闭一致收敛 .即在任何 时, 对积分
, 有
上 , , 而积分
一致收敛 . 因为
收敛.
对积分
,
积分
, 而积分
在区间
收敛. 由M—判法, 它上一致收敛 .
们都一致收敛,
作类似地讨论, 可得积分于是可得如下结论:
也在区间
内闭一致收敛.
的连续性:
在区间 在区间
内连续 .
的可导性: 内可导, 且
在区间
.
同理可得: 内任意阶可导, 且
.
3. 凸性与极值:
,
在区间
内严格下凸.
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《数学分析》教案
( 参下段 ),
在区间
内唯一的极限小值
点( 亦为最小值点 ) 介于1与2 之间 .
4. 的递推公式 函数表:
的递推公式 : .
证
.
.
于是, 利用递推公式得:
,
,
, …………, ,
一般地有 .
可见 , 在 见对
上, 正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义
为
, 易
内实数的阶内的所有实
是很
,该定义是有意义的. 因此, 可视
乘. 这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了 数上, 于是, 自然就有合理的.
, 可见在初等数学中规定
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