《数学分析》教案
函数表: 很多繁杂的积分计算问题可化为
角函数表、对数表等函数表, 制订了 可见, 有了 常把 表 也有在 5.
函数在
内
函数来处理. 人们仿三
函数的递推公式
的值. 通
函数
函数表供查. 由
, 求得 内的值, 即可对
函数的某些近似值制成表, 称这样的表为 内编制的
函数表.)
函数的延拓:
时,
有意义 . 用其作为
内.
, 又可把 依此 , 可把 延拓到
时
该式右端在
的定义, 即把 延拓到了
时也
时, 依式
, 利用延拓后的 内 .
延拓到 内除去
的所有
点. 经过如此延拓后的 例1 求
.)
的图象如 P192图表19—2.
, ,
. ( 查表得
解
.
),
.
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《数学分析》教案
6.
函数的其他形式和一个特殊值:
某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为 函数表求得该积分的值.
函数 . 倘能如此, 可查
常见变形有:
ⅰ> 令 因此,
, 有 =
.
,
,
ⅱ> 令
.
注意到 P7的结果
, 得 的一个特殊值
.
ⅲ> 令 得
, 得
. 取
,
.
例2 计算积分 , 其中 .
解 I
.
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《数学分析》教案
二. Beta函数
——Euler第一型积分：
1． Beta函数及其连续性：
称( 含有两个参数的 )含参积分
一型积分. 当
和
为Euler第
中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分. 下证对
时点
和
均为瑕点. 故把
, 该积分收敛. 由于
积分
分成
和
时为正常积分;
考虑.
:
负,
时, 点
为瑕点. 由被积函数非
和 ,
( 由Cauchy判法) 积分
收敛 . ( 易见
时积分
发散 ).
数非负,
: 时为正常积分;
时, 点
为瑕点. 由被积函
和 ,
( 由Cauchy判法) 积分
收敛 . ( 易见
时积分
发散 ).
综上, 时积分
,
收敛. 设D
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《数学分析》教案
于是, 积分
定义了D内的一个二元函数. 称该函数为Beta函数, 记为
, 即
=
不难验证, 函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续, 因此 ,
函数是D内的二元连续函数.
2. 函数的对称性: .
证
=
.
由于
函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一
个变元自然也具有.
3. 递推公式: .
证
,
而
,
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