第一范文网 - 专业文章范例文档资料分享平台

实数完备性基本定理的相互证明

来源:用户分享 时间:2025/5/17 17:59:31 本文由loading 分享 下载这篇文档手机版
说明:文章内容仅供预览,部分内容可能不全,需要完整文档或者需要复制内容,请下载word后使用。下载word有问题请添加微信号:xxxxxxx或QQ:xxxxxx 处理(尽可能给您提供完整文档),感谢您的支持与谅解。

实数完备性基本定理的相互证明(30个)

一.确界原理

1.确界原理证明单调有界定理

证 不妨设?an?为有上界的单调递增数列.

由确界原理,数列?an?有上确界,令a?sup?an?,下面证明:liman?a.

n??对任意的??0,由上确界的定义,存在数列?an?中某一项aN,使得:a???aN. 由于?an?单调递增,故对任意的n?N,有:a???an?aN.

另一方面,由于a是?an?的一个上界,故对任意的正整数n都有:an?a?a??. 所以任意的n?N,有:a???an?a??,即:an?a??.

由极限的定义,liman?a.同理可证单调递减有下界的数列必有极限,且其极限即为它的下确界.

n??2.确界原理证明区间套定理

证明:设??an,bn??是一个闭区间套. 令数集S??an?.

由于任一bn都是数列?an?的上界,由确界原理,数集S有上确界,设supS??. 下证?属于每个闭区间?an,bn??n?1,2,3,显然,an???n?1,2,3,?

?,故只需证明对任意正整数n,都有??bn.

事实上,对任意正整数n,bn都是S的上界,而上确界是最小上界,故必有??bn. 所以存在实数?,使得???an,bn??n?1,2,3,?

?.则?????bn?an?0?n???,故有:

下证唯一性,假设还有另外一点??,也满足????an,bn??n?1,2,3,????.唯一性得证.

3.确界原理证明有限覆盖定理

证明:欲证闭区间?a,b?的任一开覆盖H都有有限的子覆盖. 令S??x|?a,x?能被H中有限个开区间覆盖,a?x?b?

显然S有上界.又H覆盖闭区间?a,b?,所以,存在一个开区间??,???H,覆盖住了a.取x??a,??,则?a,x?显然能被H中有限个开区间覆盖(1个),x?S,从而S 非空. 由确界原理,令??supS.

先证明??b.用反证法,若??b,则a???b.由H覆盖闭区间?a,b?,一定存在开区间??1,?1??H,覆盖住了?.取x1,x2,使:则?a,x1?能被H中有限个开区间覆盖,把??1,?1?加进去,?1?x1???x2??1,x1?S ,

就得到?a,x2?也能被H中有限个开区间覆盖,即x2?S,这与??supS矛盾,故??b.

最后证明b?S.设开区间??2,?2??H,覆盖住了b.由b?supS,故存在y使得:?2?y?b且y?S.则?a,y?能被H中有限个开区间覆盖,把??2,?2?加进去,就得到?a,b?也能被H中有限个开区间覆盖. 4.确界原理证明聚点定理

证明:设S有界无限点集,则由确界原理令??infS.

若?是S的一个聚点,则命题已经成立,下面设?不是S的聚点.

令 T?x|???,x?中只包含S中有限个元素.因为?不是S的聚点,所以存在?0?0,使得

??U??;?0??????0,???0?只包含S中有限个数,故???0?T,从而T非空.

又S有界,所以S的所有上界就是T的上界,故T有上确界,令??supT. 下面证明?是S的一个聚点.

对任意的??0,????S,故???,????包含S中无穷多个元素.

由上确界的定义,存在??????,??,使得??S,故???,??中只包含S中有限多个元素.从而我们得知

???,?????U??;??中包含了S中无穷多个元素,由聚点的定义,?是S的一个聚点.

5.确界原理证明Cauchy收敛准则 证明:必要性:

若limxn?x,则对任意的??0,存在正整数N,对一切n?N,有xn?x?n???2.于是对一切m,n?N,有

xm?xn?xm?x?xn?x?充分性:

?2??2??.

现假设?xn?满足对任意的??0,存在N,对一切正整数n,m?N,有xn?xm??.

令数集S?x|?xn?中只有有限项小于x或xn?x,?n,明显数列?xn?的下界都属于S,并且?xn?的上界就是

??S的上界.由确界存在定理,令??supS.

对条件给定的??0和N,????S,故???,????包含?xn?中无穷多项.

由上确界的定义,存在??????,??,使得??S,故???,??中只包含S中有限多个元素.从而我们得知

???,?????U??;???????,????中包含了S中无穷多个元素,设xnk?U??,???k?1,2,3,则对任意正整数n?N,总存在某个nk?N,故有:

?

xn???xn?xnk?xnk???????2?.从而limxn??.

n??二.单调有界定理

6.单调有界定理证明确界定理

证明:我们不妨证明非空有上界的数集S必有上确界.

设T?r|r为数集S的有理数上界.明显T是一个可数集,所以假设:

??T??r1,r2,,rn,xn ?ri?.则得单调递减有下界的数列,由单调有界定理得,令??lim?.令xn?minn??1?i?n先证?是上界.任取s?S,有s?rn?xn,由极限的保序性,s??.

其次对于任意的??0,取一个有理数r?????,??,它明显不是S的上界,否则

??limxn?r??产生矛盾!故存在s?S,使得s????,我们证明了?是数集S 上确界.

n??7.单调有界定理证明区间套定理

若??an,bn??是一个区间套,则?an?为单调递增有上界的数列,由单调有界定理, 令??liman,并且容易得到

n??an???n?1,2,3,?.

同理,单调递减有下界的数列?bn?也有极限,并按区间套的条件有:

limbn?lim??an??bn?an??????0??,并且容易得到bn???n?1,2,3,n??n???.

所以???an,bn??n?1,2,3,?

?.则?????bn?an?0?n???,故有:

下证唯一性,假设还有另外一点??,也满足????an,bn??n?1,2,3,????.唯一性得证.

8.单调有界定理证明有限覆盖定理

设T??r|?a,r?可以被H的开区间有限开覆盖,且r?,r?b?.容易得到T中包含无穷多个元素,并且T是一个可数集,所以假设:T??r1,r2,得,令??limxn.

n??,rn,?ri?.则得单调递增有上界的数列,由单调有界定理?.令xn?max1?i?n先证明??b.用反证法,若??b,则a???b.由H覆盖闭区间?a,b?,一定存在开区间??1,?1??H,覆盖住了?.取xi?rj,y,使:则?a,x1?能被H中有限个开区间覆盖,把??1,?1?加进去,?1?xi?rj???y??1 ,就得到?a,y?也能被H中有限个开区间覆盖,即y?S,这与??supS矛盾,故??b.

最后证明b?S.设开区间??2,?2??H,覆盖住了b.由b?supS,故存在xk?rl使得:?2?xk?rl?b.则

?a,rl?能被H中有限个开区间覆盖,把??2,?2?加进去,就得到?a,b?也能被H中有限个开区间覆盖.

9.单调有界定理证明聚点定理

证明:设S是一有界无限点集,在S中选取一个单调?an?,下证数列?an?有聚点.

(1)如果在?an?的任意一项之后,总存在最大的项,设a1后的最大项是an1,an1 后的最大项是an2,且显然

an2?an1?n2?n1?; 一般地,将ank后的最大项记为ank?1,则有:ank?1?ank?k?1,2,3,到了?an?的一个单调递减子列ank.

?.这样,就得

??(2)如果(1)不成立 则从某一项开始,任何一项都不是最大的,不妨设从第一项起,每一项都不是最大项.

于是,取an1?a1,因an1不是最大项,所以必存在另一项an2?an1?n2?n1?又因为an2也不是最大项,所以又有:

an3?an2?n3?n2? ,这样一直做下去,就得到了?an?的一个单调递增子列?ank?.

综上所述,总可以在S中可以选取一个单调数列ank,利用单调有界定理,ank收敛,极限就是S的一个聚点.

10.单调有界定理证明Cauchy收敛准则 证明:必要性:

若limxn?x,则对任意的??0,存在正整数N,对一切n?N,有xn?x?n???????2.于是对一切m,n?N,有

xm?xn?xm?x?xn?x?充分性:

?2??2??.

现假设?xn?满足对任意的??0,存在N,对一切正整数n,m?N,有xn?xm??.

先证明柯西数列是有界的.取?0?1,故存在某个正整数N0,对一切n,有xn?xN0?1?1,即an?aN0?1?1.故?xn?有界.

参考9的做法,可知数列?an?有一个单调子列ank,由单调有界定理,ank收敛,令??limxnk.

k??????则对任意正整数n?N,总存在某个nk?nk?N?,使得xnk????,故有:

xn???xn?xnk?xnk???????2?..从而limxn??.

n??三.区间套定理

11.区间套定理证明确界原理

证明:仅证明非空有上界的数集S 必有上确界

取一个闭区间?a,b?,使得?a,b?包含S中的元素,并且b为S的上界. 将闭区间?a,b?等分为两个闭区间?a,否则取?a1,b1?????a?ba?b??a?b??a?b?S与.若为数集的上界,则取,,ba,b?a,??11?????22??22????a?b?,b?. 2????a1?b1a1?b1??a1?b1?与.若为数集S的上界,则取,b1???22??2?再将闭区间?a1,b1?等分为两个闭区间?a1,?a2,b2????a1,?a1?b1??a1?b1?,否则取a,b?,b1?.不断进行下去,这样得到了一个闭区间套??an,bn??. ??22?2?2???

搜索更多关于: 实数完备性基本定理的相互证明 的文档
实数完备性基本定理的相互证明.doc 将本文的Word文档下载到电脑,方便复制、编辑、收藏和打印
本文链接:https://www.diyifanwen.net/c9ewfx7okf02b61z989mk_1.html(转载请注明文章来源)
热门推荐
Copyright © 2012-2023 第一范文网 版权所有 免责声明 | 联系我们
声明 :本网站尊重并保护知识产权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果我们转载的作品侵犯了您的权利,请在一个月内通知我们,我们会及时删除。
客服QQ:xxxxxx 邮箱:xxxxxx@qq.com
渝ICP备2023013149号
Top