实数完备性基本定理的相互证明

实数完备性基本定理的相互证明（30个）

一.确界原理

1.确界原理证明单调有界定理

证 不妨设?an?为有上界的单调递增数列.

由确界原理，数列?an?有上确界，令a?sup?an?，下面证明：liman?a.

n??对任意的??0，由上确界的定义，存在数列?an?中某一项aN,使得：a???aN. 由于?an?单调递增,故对任意的n?N，有：a???an?aN.

另一方面,由于a是?an?的一个上界,故对任意的正整数n都有：an?a?a??. 所以任意的n?N，有：a???an?a??，即：an?a??.

由极限的定义，liman?a.同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且其极限即为它的下确界.

n??2.确界原理证明区间套定理

证明：设??an,bn??是一个闭区间套. 令数集S??an?.

由于任一bn都是数列?an?的上界，由确界原理，数集S有上确界，设supS??. 下证?属于每个闭区间?an,bn??n?1,2,3,显然，an???n?1,2,3,?

?，故只需证明对任意正整数n，都有??bn.

事实上，对任意正整数n，bn都是S的上界，而上确界是最小上界，故必有??bn. 所以存在实数?，使得???an,bn??n?1,2,3,?

?.则?????bn?an?0?n???，故有:

下证唯一性，假设还有另外一点??，也满足????an,bn??n?1,2,3,????.唯一性得证.

3.确界原理证明有限覆盖定理

证明：欲证闭区间?a,b?的任一开覆盖H都有有限的子覆盖. 令S??x|?a,x?能被H中有限个开区间覆盖，a?x?b?

显然S有上界.又H覆盖闭区间?a,b?，所以，存在一个开区间??,???H，覆盖住了a.取x??a,??，则?a,x?显然能被H中有限个开区间覆盖（1个），x?S，从而S 非空. 由确界原理，令??supS.

先证明??b.用反证法，若??b，则a???b.由H覆盖闭区间?a,b?，一定存在开区间??1,?1??H，覆盖住了?.取x1,x2，使：则?a,x1?能被H中有限个开区间覆盖，把??1,?1?加进去，?1?x1???x2??1,x1?S ，

就得到?a,x2?也能被H中有限个开区间覆盖，即x2?S，这与??supS矛盾，故??b.

最后证明b?S.设开区间??2,?2??H，覆盖住了b.由b?supS，故存在y使得：?2?y?b且y?S.则?a,y?能被H中有限个开区间覆盖，把??2,?2?加进去，就得到?a,b?也能被H中有限个开区间覆盖. 4.确界原理证明聚点定理

证明：设S有界无限点集，则由确界原理令??infS.

若?是S的一个聚点，则命题已经成立，下面设?不是S的聚点.

令 T?x|???,x?中只包含S中有限个元素.因为?不是S的聚点，所以存在?0?0，使得

??U??;?0??????0,???0?只包含S中有限个数，故???0?T，从而T非空.

又S有界，所以S的所有上界就是T的上界，故T有上确界，令??supT. 下面证明?是S的一个聚点.

对任意的??0，????S，故???,????包含S中无穷多个元素.

由上确界的定义，存在??????,??，使得??S，故???,??中只包含S中有限多个元素.从而我们得知

???,?????U??;??中包含了S中无穷多个元素，由聚点的定义，?是S的一个聚点.

5.确界原理证明Cauchy收敛准则 证明：必要性：

若limxn?x，则对任意的??0，存在正整数N，对一切n?N，有xn?x?n???2.于是对一切m,n?N，有

xm?xn?xm?x?xn?x?充分性：

?2??2??.

现假设?xn?满足对任意的??0，存在N，对一切正整数n,m?N，有xn?xm??.

令数集S?x|?xn?中只有有限项小于x或xn?x,?n，明显数列?xn?的下界都属于S，并且?xn?的上界就是

??S的上界.由确界存在定理，令??supS.

对条件给定的??0和N，????S，故???,????包含?xn?中无穷多项.

由上确界的定义，存在??????,??，使得??S，故???,??中只包含S中有限多个元素.从而我们得知

???,?????U??;???????,????中包含了S中无穷多个元素，设xnk?U??,???k?1,2,3,则对任意正整数n?N，总存在某个nk?N，故有：

?

xn???xn?xnk?xnk???????2?.从而limxn??.

n??二.单调有界定理

6．单调有界定理证明确界定理

证明：我们不妨证明非空有上界的数集Ｓ必有上确界.

设T?r|r为数集S的有理数上界.明显T是一个可数集，所以假设：

??T??r1,r2,,rn,xn ?ri?.则得单调递减有下界的数列，由单调有界定理得，令??lim?.令xn?minn??1?i?n先证?是上界.任取s?S，有s?rn?xn，由极限的保序性，s??.

其次对于任意的??0，取一个有理数r?????,??，它明显不是S的上界，否则

??limxn?r??产生矛盾！故存在s?S，使得s????，我们证明了?是数集S 上确界.

n??7.单调有界定理证明区间套定理

若??an,bn??是一个区间套,则?an?为单调递增有上界的数列,由单调有界定理, 令??liman，并且容易得到

n??an???n?1,2,3,?.

同理,单调递减有下界的数列?bn?也有极限,并按区间套的条件有：

limbn?lim??an??bn?an??????0??，并且容易得到bn???n?1,2,3,n??n???.

所以???an,bn??n?1,2,3,?

?.则?????bn?an?0?n???，故有:

下证唯一性，假设还有另外一点??，也满足????an,bn??n?1,2,3,????.唯一性得证.

8.单调有界定理证明有限覆盖定理

设T??r|?a,r?可以被H的开区间有限开覆盖，且r?,r?b?.容易得到T中包含无穷多个元素，并且T是一个可数集，所以假设：T??r1,r2,得，令??limxn.

n??,rn,?ri?.则得单调递增有上界的数列，由单调有界定理?.令xn?max1?i?n先证明??b.用反证法，若??b，则a???b.由H覆盖闭区间?a,b?，一定存在开区间??1,?1??H，覆盖住了?.取xi?rj,y，使：则?a,x1?能被H中有限个开区间覆盖，把??1,?1?加进去，?1?xi?rj???y??1 ，就得到?a,y?也能被H中有限个开区间覆盖，即y?S，这与??supS矛盾，故??b.

最后证明b?S.设开区间??2,?2??H，覆盖住了b.由b?supS，故存在xk?rl使得：?2?xk?rl?b.则

?a,rl?能被H中有限个开区间覆盖，把??2,?2?加进去，就得到?a,b?也能被H中有限个开区间覆盖.

9.单调有界定理证明聚点定理

证明：设S是一有界无限点集，在S中选取一个单调?an?，下证数列?an?有聚点.

（1）如果在?an?的任意一项之后，总存在最大的项,设a1后的最大项是an1，an1 后的最大项是an2，且显然

an2?an1?n2?n1?； 一般地，将ank后的最大项记为ank?1，则有：ank?1?ank?k?1,2,3,到了?an?的一个单调递减子列ank.

?.这样，就得

??（2）如果（1）不成立 则从某一项开始，任何一项都不是最大的，不妨设从第一项起，每一项都不是最大项.

于是，取an1?a1，因an1不是最大项，所以必存在另一项an2?an1?n2?n1?又因为an2也不是最大项，所以又有：

an3?an2?n3?n2? ，这样一直做下去，就得到了?an?的一个单调递增子列?ank?.

综上所述，总可以在S中可以选取一个单调数列ank，利用单调有界定理，ank收敛，极限就是S的一个聚点.

10.单调有界定理证明Cauchy收敛准则 证明：必要性：

若limxn?x，则对任意的??0，存在正整数N，对一切n?N，有xn?x?n???????2.于是对一切m,n?N，有

xm?xn?xm?x?xn?x?充分性：

?2??2??.

现假设?xn?满足对任意的??0，存在N，对一切正整数n,m?N，有xn?xm??.

先证明柯西数列是有界的.取?0?1，故存在某个正整数N0，对一切n，有xn?xN0?1?1，即an?aN0?1?1.故?xn?有界.

参考9的做法，可知数列?an?有一个单调子列ank，由单调有界定理，ank收敛，令??limxnk.

k??????则对任意正整数n?N，总存在某个nk?nk?N?，使得xnk????，故有：

xn???xn?xnk?xnk???????2?..从而limxn??.

n??三．区间套定理

11.区间套定理证明确界原理

证明：仅证明非空有上界的数集S 必有上确界

取一个闭区间?a,b?，使得?a,b?包含S中的元素，并且b为S的上界. 将闭区间?a,b?等分为两个闭区间?a,否则取?a1,b1?????a?ba?b??a?b??a?b?S与.若为数集的上界，则取，,ba,b?a,??11?????22??22????a?b?,b?. 2????a1?b1a1?b1??a1?b1?与.若为数集S的上界，则取,b1???22??2?再将闭区间?a1,b1?等分为两个闭区间?a1,?a2,b2????a1,?a1?b1??a1?b1?，否则取a,b?,b1?.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套??an,bn??. ??22?2?2???